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1、积分中值定理的推广和应用积分中值定理的推广定理和应用情形TheIntegralMeanValueTheoremforItsSpreadingandApplicationExtension theorem of integral mean value theorem and its application论文作者： 专 业： 指导老师： 完成时间： 摘 要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。积分中值
2、定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important rol
3、e in the calculus. Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function. It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.
4、 It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis. The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals, we have learned the proof of the two theorems In the course of mat
5、hematical analysis. But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet. Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations
6、 here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on. And by citing examples, I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in th
7、e application of learning problem solving exercises.关键词：积分中值定理； 推广； 应用Keyword: mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性
8、质点、估计积分值等方面应用广泛。本文将通过对积分中值定理的证明，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,加深对这一定理的更深层次的理解。2 积分中值定理的证明2.1积分第一中值定理定理1 若 在上连续，则至少存在一点，使得.证 由于在上连续，因此存在最大值和最小值.由，使用积分不等式性质得到，或.再由连续函数的介值性，至少存在一点，使得，即有 .定理2 若 在上连续，则至少存在一点，使得.证 由于在上连续，从而在上可积。设其原函数为，则根据原函数存在定理可知，在上连续，且在上可导，由拉格朗日中值定理知存在一点使得，则得.显然定理2的结论要强于定理1的结
9、论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些。2.2积分第二中值定理积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面我同样会给出积分第二中值定理与其证明。定理3 若 在上可积，在上单调且在上连续，那么存在一点，使得在上可积. 证 假设在上单调减少且非负，将区间分成几部分，即而，记则：由于在上单调减少且非负，即 根据阿贝尔引理有：当时，有即：，所以，当时有：时成立的），而当时也成立。由介质定理知连续函数在上某点处取得上、下确界之间的中间值即： （2）令，由于单调减少且非负，由（2）得：即 如果在a,b处不一定连续，则公式(1)可改写成：如果在上具有连续导数，在上连续则上述定理可用一个比
10、较简单的方法证明，在证明的过程中主要使用分布积分法和积分第一中值定理。证 由于在连续，则为其原函数，现对使用分布积分，其中令对使用积分第一中值定理，所以 3积分中值定理的推广3.1 积分第一中值定理的推广定理4（定积分中值定理的推广） 若在闭区间上连续且单调，则在开区间上存在唯一一点使得。定理4是在加强了定理1和定理2的条件的基础上得到的。证 利用微分中值定理来证明，令，因为在上连续，所以在上连续，在内可导，而且，应用拉格朗日微分中值定理可得，在在内至少存在一点使即亦即定理5（定积分第一中值定理的推广） 如果函数、在闭区间上可积，且在上不变号, 连续，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：
11、。证 由于函数在闭区间上是可积函数，在上可积且不变号，令，很显然，和在上连续。并且由柯西中值定理即可得到即，定理5即证。注：定理5的逆命题为：若函数在上连续且严格单调，且在上可积且不变号，则任意的一点，必存在，使得，且满足3.2积分第二中值定理的推广定理6 如果函数在闭区间上有界且可积，且在上单调，则也可积，且在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：。证 因为在可积，在上单调，故在有界且可测，所以在上可积。下证。（1）在上连续的情形。令，则，因为在上单调，可知在是有界变差的，故存在，进而有又由在上连续，可得在上有最值。故可设所以有，则存在， ，所以（2）在上有界且可积情形。因为在上有界且可积，
12、故是上的可测函数，所以对任意的，存在闭集及上的连续函数，使得在上，且，对于任意的，取及使得当时，有，由（1）知：，所以，对于任意有，故。定理7 特别的：（1）函数在上可积, 在上单调递减,且，则存在，使得： （2）函数在上可积, 在上单调递增，且，则存在，使得：4积分中值定理的应用因为积分中值定理可以使积分号去掉，简化问题，在数学问题的解决中有很大的应用性，我在这里归纳整理，挑选列出了一些运用积分中值定理解决的数学问题估计积分值、求含有定积分的极限和确定积分符号，并且列举出一些典型例题和解法，来说明其应用性。4.1运用积分中值定理估计积分值例1：估计定积分的积分值。解：因为，所以，于是那么就可
13、以估计出此定积分的积分值为例2：估计定积分的积分值。解：根据积分第一中值定理的推广形式有，并且其中因为，所以有那么可以得出所以该定积分的积分估计值为4.2求含有定积分的极限例3：求的极限。解：根据积分中值定理可得那么例4：求的极限。解：如果直接运用积分中值定理那么得到。但是因为而不能判定。所以应进行下列计算：，其中为人意无穷小正数。对第一个积分使用积分第一中值定理的推广形式，得到：；对于第二个积分：因为为人意无穷小正数，所以可得到积分的极限：。注：解决此类的数学问题的关键是运用积分中值定理去掉积分符号，在运用时，要注意中值不仅由积分区间确定，还有限式中的自变量的趋近方式确定。4.3确定积分符号
14、例5：确定积分的符号。解：，利用积分中值定理可得到：（其中）又因为在上不恒等于0，所以可得到积分。注：在解决确定积分符号的这类数学问题时，我们通常会把0作为上下限的中界点，然后把原积分写成以0为中界点的两个积分的和，如上题中的，然后化成一个积分的形式，最后再用积分中值定理确定积分的符号。5结论积分中值定理是数学分析中的一个基础定理，所起到的重要作用是可以使积分号去掉，简化问题。当题目中还有函数积分，或者要求证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，就可以考虑使用积分中值定理去解决问题。我们学习的数学分析课程中并没有提及积分中值定理的推广和应用，在这里，我对积分第一中值定理和积分第二中值定理的几种推广形式进行了列举和证明，并且列举了三种推广定理的运用情况估计积分值、求积分的极限、确定积分符号，并且举例了5道例题给以具体的解答，对应用情形加以说明。在应用方面，还有证明积分不等式和判断某些点的存在问题、判断收敛情况、证明函数单调性等等，在这里我不加以说明。参考文献1欧阳光中，朱学炎，金临福，陈传漳.数学分析(上册)M.第三版.北京：高等教育出版社，2007年.2张筑生.数学分析新讲M.北京:北京大学出版社,1990.92-95.3 刘玉莲,傅沛仁.数学
