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1、实变函数试题库及参考答案 本科一、题 1设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）2设是的子集，则 （用描述集合间关系的符号填写）3如果中聚点都属于，则称是闭集4有限个开集的交是开集5设、是可测集，则（用描述集合间关系的符号填写）6设是可数集，则=7设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测8可测函数列的上极限也是可测函数9设，则10设在上可积，则在上可积11设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）12设，则=（其中表示自然数集的基数）13设，如果中没有不属于，则称是闭集14任意个开集的并是开集15设、是可测集，且，则16设中只有孤立点，则=17设是定义在可测集上的实函数，如果
2、，是可测，则称在上可测18可测函数列的下极限也是可测函数19设，则20设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则21设为集合，则22设为有理数集，则=（其中表示自然数集的基数）23设，如果中的每个点都是内点，则称是开集24有限个闭集的交是闭集25设，则026设是中的区间，则=的体积27设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测28可测函数列的极限也是可测函数29设，则30设是上的非负可测函数列，且单调增收敛于，由勒维定理，有31设为集合，则=32设为无理数集，则=（其中表示自然数集的基数）33设，如果中没有不是内点的点，则称是开集34任意个闭集的交是闭集35设，称是可测集，如果，3
3、6设是外测度为零的集合，且，则=37设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，（）则称在上可测38可测函数列的上确界也是可测函数39设，则40设，那么由黎斯定理，有子列，使于41.设为两个集合,则.（等于）42.设,如果满足(其中表示的导集),则是闭.43.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i) (ii)44.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数) 答案：45.设为可测集, ,则. 答案： 46.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集上的可测函数.47.设是()的内点,则. 答案48.设为可测集上的可测函数列,且,则由_黎斯_定理可知得,存在的子列,使得.49.
4、设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值不一定存在且在上不一定可积.50.若是上的绝对连续函数,则是上的有界变差函数.51设为集合，则 答案=52设，如果满足（其中表示的内部），则是开集53设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为的构成区间54设，则的基数=(其中表示自然数集的基数)55设为可测集，且，则 答案 =56设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有是可测集57若是可数集，则 答案=58设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果，则 不一定成立59 设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值一定存在60若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择
5、题（每题至少有两个以上的正确答案）1设，则（ ACD ） 是不可数集 是闭集 中没有内点 2设是无限集，则（ AB ） 可以和自身的某个真子集对等 （为自然数集的基数） 3设是上的可测函数，则（ABD ） 函数在上可测 在的可测子集上可测 是有界的 是简单函数的极限4设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ） 在上可测 在上可积 在上几乎处处连续 在上几乎处处等于某个连续函数5设，如果至少有一个内点，则（ BD ） 可以等于 可能是可数集 不可能是可数集6设是无限集，则（ AB ） 含有可数子集 不一定有聚点 含有内点 是无界的7设是上的可测函数，则（ BD ） 函数在上可测 是非负简单函数
6、列的极限 是有界的 在的可测子集上可测8设是上的连续函数，则（ ABD ） 在上可测 在上可积，且 在上可积，但 在上有界9设是狄利克莱函数，即，则（ BCD ） 几乎处处等于 几乎处处等于 是非负可测函数 是可积函数10设，则（ ABD ） 是可测集 的任何子集是可测集 是可数集 不一定是可数集11设，则（ AB ） 当是可测集时，是可测函数 当是可测函数时，是可测集 当是不可测集时，可以是可测函数 当是不是可测函数时，不一定是可测集12设是上的连续函数，则（BD ） 在上有界 在上可测 在上可积 在上不一定可积13设在可测集上可积，则（AC ） ，都是上的非负可积函数 和有一个在上的非负可
7、积 在上可积 在上不一定可积14设是可测集，则（ AD ） 是可测集 的子集是可测集 的可数子集是可测集15设，则（ CD ） 几乎处处收敛于 一致收敛于 有子列，使于 可能几乎处处收敛于16设是上有界函数，且可积，则（BD ） 在上黎曼可积 在上可测 在上几乎处处连续 在上不一定连续17. 设,则(CD)（A）是可数集（B）是闭集（C）中的每个点均是聚点（D）18.若()至少有一个内点，则（BD）（A）可以等于（B）（C）可能是可数集（D）不可能是可数集19设是可测集，则的特征函数是（ABC）（A）上的符号函数（C）上的连续函数（B）上的可测函数 （D）上的连续函数20 设是上的单调函数，则
8、（ACD）（A）是上的有界变差函数（B）是上的绝对连续函数（C）在上几乎处处收敛（D）在上几乎处处可导21设，则（ AC ）（A）是可数集 （B）是闭集（C） （D）中的每一点均为的内点22若的外测度为0，则（ AB ）（A）是可测集 （B）（C）一定是可数集 （D）一定不是可数集23设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）（A）存在 （B）在上-可积（C） （D）24若可测集上的可测函数在上有积分值，则（ AD ）（A）与至少有一个成立（B）且 （C）在上也有-积分值（D）三、 单项选择1下列集合关系成立的是（ A ） 2若
9、是开集，则（ B ） 4设是上一列非负可测函数，则（ B） 5下列集合关系成立的是（ A ） 6若是闭集，则（ C ） 7设为无理数集，则（ C ） 为闭集 是不可测集 9下列集合关系成立的是（B ） 10设，则( A ) 11设为康托集，则（ B ） 是可数集 是不可数集 是开集13下列集合关系成立的是（ A） 若则 若则 若则 若则14设，则（ A ） 15设，则（ B ） 是中闭集 是中完备集16设，是上的可测函数，则（ B ） 不一定是可测集 是可测集 是不可测集 不一定是可测集7下列集合关系成立的是（A）（A） （B）（C） （D）18. 若是开集，则 （ B ）（A）的导集 （B）
10、的开核（C） （D）的导集19. 设的康托集，则(C)（A）为可数集 （B）为开集（C） （D）20、设是中的可测集，是上的简单函数，则 （ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数21下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B）（C） （D）22. 若是闭集，则 （ B ）（A） （B）（C） （D）23. 设的有理数集，则（ C ）（A） （B）为闭集（C） （D）为不可测集24.设是中的可测集，为上的可测函数，若，则 （ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （
11、）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集. （ ）5. 可数个集的交是集. （ ）6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ ）7. 对等的集合是相等的. ( )8. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集. （ ）9. 可数个集的并是集. （ ）10. 零测集上的函数是可测函数. （ ）11. 对等的集合不一定相等. （ ）12. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（ ）13. 可数个开集的交是开集 （ ）14. 可测函数不一定是连续函数. （ ）15. 对等的集合有相同的基数. （ ）16. 称在上几乎处处相等是指使的全体的测度大于 （ ）17. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）18. 任何无限集均含有一个可列子集
