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1、实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列有上确界，令，下面证明：.对任意的，由上确界的定义，存在数列中某一项,使得：.由于单调递增,故对任意的，有：.另一方面,由于是的一个上界,故对任意的正整数都有：.所以任意的，有：，即：.由极限的定义，.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：设是一个闭区间套. 令数集.由于任一都是数列的上界，由确界原理，数集有上确界，设.下证属于每个闭区间显然，故只需证明对任意正整数，都有.事实上，对任意正整数，都是的上界
2、，而上确界是最小上界，故必有. 所以存在实数，使得下证唯一性，假设还有另外一点，也满足.则，故有:.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间的任一开覆盖都有有限的子覆盖.令显然有上界.又覆盖闭区间，所以，存在一个开区间，覆盖住了.取，则显然能被中有限个开区间覆盖（1个），从而 非空.由确界原理，令. 先证明.用反证法，若，则.由覆盖闭区间，一定存在开区间，覆盖住了.取，使： ，则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖，即，这与矛盾，故.最后证明.设开区间，覆盖住了.由，故存在使得：且.则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆
3、盖.4.确界原理证明聚点定理 证明：设有界无限点集，则由确界原理令.若是的一个聚点，则命题已经成立，下面设不是的聚点.令 .因为不是的聚点，所以存在，使得只包含中有限个数，故，从而非空.又有界，所以的所有上界就是的上界，故有上确界，令.下面证明是的一个聚点.对任意的，故包含中无穷多个元素.由上确界的定义，存在，使得，故中只包含中有限多个元素.从而我们得知中包含了中无穷多个元素，由聚点的定义，是的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy收敛准则 证明：必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切，有.于是对一切，有.充分性：现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.令数集，明显数列的下界都属于，并
4、且的上界就是的上界.由确界存在定理，令.对条件给定的和，故包含中无穷多项.由上确界的定义，存在，使得，故中只包含中有限多个元素.从而我们得知中包含了中无穷多个元素，设则对任意正整数，总存在某个，故有：.从而.二.单调有界定理 6单调有界定理证明确界定理 证明：我们不妨证明非空有上界的数集必有上确界.设.明显是一个可数集，所以假设：.令.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令 先证是上界.任取，有，由极限的保序性，.其次对于任意的，取一个有理数，它明显不是的上界，否则产生矛盾！故存在，使得，我们证明了是数集 上确界.7.单调有界定理证明区间套定理 若是一个区间套,则为单调递增有上界的数列
5、,由单调有界定理, 令，并且容易得到.同理,单调递减有下界的数列也有极限,并按区间套的条件有：，并且容易得到.所以下证唯一性，假设还有另外一点，也满足.则，故有:.唯一性得证. 8.单调有界定理证明有限覆盖定理设.容易得到中包含无穷多个元素，并且是一个可数集，所以假设：.令.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理得，令.先证明.用反证法，若，则.由覆盖闭区间，一定存在开区间，覆盖住了.取，使： ，则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖，即，这与矛盾，故.最后证明.设开区间，覆盖住了.由，故存在使得：.则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆
6、盖.9.单调有界定理证明聚点定理 证明：设是一有界无限点集，在中选取一个单调，下证数列有聚点.（1）如果在的任意一项之后，总存在最大的项,设后的最大项是， 后的最大项是，且显然； 一般地，将后的最大项记为，则有：.这样，就得到了的一个单调递减子列.（2）如果（1）不成立 则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取，因不是最大项，所以必存在另一项又因为也不是最大项，所以又有： ，这样一直做下去，就得到了的一个单调递增子列.综上所述，总可以在中可以选取一个单调数列，利用单调有界定理，收敛，极限就是的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则 证明
7、：必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切，有.于是对一切，有.充分性：现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.先证明柯西数列是有界的.取，故存在某个正整数，对一切，有，即.故有界.参考9的做法，可知数列有一个单调子列，由单调有界定理，收敛，令.则对任意正整数，总存在某个，使得，故有：.从而.三区间套定理 11.区间套定理证明确界原理 证明：仅证明非空有上界的数集 必有上确界 取一个闭区间，使得包含中的元素，并且为的上界.将闭区间等分为两个闭区间与.若为数集的上界，则取，否则取.再将闭区间等分为两个闭区间与.若为数集的上界，则取，否则取.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套.由区间套定理
8、的得存在属于所有的闭区间并且每个闭区间都包含中的元素，并且右端点为的上界.由于对任意，有，所有由极限的保序性，从而是数集的上界.最后，对于任意，存在，使得.由闭区间套的选取，包含了中某个元素，从而有.故是数集的上确界.12. 区间套定理证明单调有界定理 设是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间，使得包含中的项，并且为的上界.将闭区间等分为两个闭区间与.若为的上界，则取，否则取.再将闭区间等分为两个闭区间与.若为的上界，则取，否则取.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间并且每个闭区间都包含中的项，并且右端点为的上界.下面证明.对任意的，存在，
9、使得.由闭区间套的选取，包含了中某一项，从而有.由于单调递增,故对任意的，有：.又，故有，即.13. 区间套定理证明有限覆盖定理 若闭区间可以被中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间可以被有限开覆盖.用反证法，若闭区间不能被有限开覆盖.将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间不能被有限开覆盖，设它为；再将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间不能被有限开覆盖，设它为.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间.显然，考虑中覆盖的开区间，取.由于，所以存在，对一切正整数，有，故此时.从而可以被中的一个开区间覆盖，产生矛盾！故假设不成立，即闭区间可以被有限开覆
10、盖.14. 区间套定理证明聚点定理 证明:已知点集是有界无限点集.设.将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间包含了点集中无穷多个元素，设它为；再将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间包含了点集中无穷多个元素，设它为.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套，每个闭区间包含了点集中无穷多个元素.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间.下证是点集的一个聚点.因为，故对任意的，必定存在一个，对一切正整数，有，从而.又每个闭区间包含了点集中无穷多个元素,故包含了点集中无穷多个元素.由聚点的定义，是点集的一个聚点.15. 区间套定理证明Cauchy收敛准则必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切
11、，有.于是对一切，有.充分性：现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.先证明柯西数列是有界的.取，故存在某个正整数，对一切，有，即.故有界.取一个闭区间，使得包含所有中的项.将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间包含了中无穷多项，设它为；再将闭区间等分为两个闭区间与.其中必有一个区间包含了中无穷多项，设它为.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套，并且每个闭区间都包含中无穷多项.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间现在取一个子列，满足.因为和夹逼定理，.则对任意正整数，总存在某个，使得，故有：.从而.四.有限覆盖定理 16.有限覆盖定理证明确界原理 证明：不妨设为非空有上界的数集，我们
12、证明有上确界.设为的一个上界，下面用反证法来证明一定存在上确界.假设不存在上确界，取.对任一，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）. （1）若不是的上界，则至少存在一点，使，这时取.（2）若是的上界，由假设不存在上确界，故有，使得 中不包含中的点.此时取，可知它也不包含中的点.于是我们得到了的一个开覆盖：根据有限覆盖定理，可以被中有限个开区间覆盖. 很明显（1）的开区间右端点属于，（2）的开区间中不包含中的点.显然所属的开区间是属于（1）的，所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的. 17.有限覆盖定理证明单调有界定理 证明：设是单调
13、有界数列，不妨设其为单调递增且有上界.任取为的一个上界以及中某项，构造出闭区间，对任意的，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）. （1） 若不是的上界，则中至少存在一项，使，这时取.（2） 若是的上界，由假设发散，故不会收敛到.即有存在某个，对任何正整数，存在，使得.由于递增，有上界，所以中的所有项均不落在中.此时取.于是我们得到了的一个开覆盖：.根据有限覆盖定理，可以被中有限个开区间覆盖. 很明显（1）的开区间右端点属于，（2）的开区间中不包含中的项.显然所属的开区间是属于（1）的，所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的. 18.
14、 有限覆盖定理证明区间套定理 证明:用反证法.假设没有公共点，则对任意一点，它都不会是的公共点，从而存在正整数，使得.故总存在一个开区间，使得：，于是我们得到了的一个开覆盖：.根据有限覆盖定理，可以被中有限个开区间覆盖. 注意到闭区间套之间的包含关系，则所有一定和某个最小的闭区间无交.从而：.产生矛盾！19. 有限覆盖定理证明聚点定理 证明:设点集是有界无限点集.设.用反证法，假设没有聚点.利用聚点定义，对任意的，存在一个领域，使得中只包含点集中有限个点.这样得到了的一个开覆盖：.根据有限覆盖定理，可以被中有限个开区间覆盖. 由于每个中只包含点集中有限个点，所以也只包含了中有限个点，这与是无限
15、点集相矛盾！故假设不成立，即有聚点.20. 有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则 证明：必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切，有.于是对一切，有.充分性：（使用反证法）现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.先证明柯西数列是有界的.取，故存在某个正整数，对一切，有，即.故有界.假设.若发散，则对任意的，可以找到一个，使得中只有有限项落在中.否则对任何，中均包含中无限项，则可以证明收敛.这样得到了的一个开覆盖：.根据有限覆盖定理，可以被中有限个开区间覆盖. 所以也只包含了中的有限项，矛盾！故假设不成立，收敛.五聚点定理21.聚点定理证明确界原理 证明：仅证明非空有上界的数集必有上确界. 取一个闭区间，使得包含中的元素，并且为的上界.将闭区间等分为两个闭区间与.若为数集的上界，则取，否则取.再将闭区间等分为两个闭区间与.若为数集的上界，则取，否则取.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套.由于明显有界，所有它有聚点.对任意，设，则.由的任意性，故是的一个上界.其次，对任意，取，设包含于闭区间，
