《定积分在生活中的应用.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《定积分在生活中的应用.doc(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏 定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分,在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的,最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律,此后,微积分极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展,而且随着人类知识的不断发展,微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义:设函数在区间上有界.在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间且各个小区间的
2、长度依次为, ,。在每个小区间上任取一点,作函数与小区间长度的乘积(),作出和 。记作极限如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分),记作,即=, 其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。2定积分的性质设函数和在上都可积,是常数,则和+都可积,并且性质1 =;性质2 =+=-.性质3 定积分对于积分区间的可加性设在区间上可积,且,和都是区间内的点,则不论,和的相对位置如何,都有=+。性质 4 如果在区间上1,则=。性质 5 如果在区间上,则。性质 6 如果在
3、上,则性质 7(定积分中值定理)如果在上连续,则在上至少存一点使得 3定理定理1 微积分基本定理如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 =.定理 2 原函数存在定理如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则 = 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二 、定积分的应用1、定积分在几何中的应用(1)设连续函数和满足条件,求曲线,及直线所围成的平面图形的面积(如图1)解法步骤: 第一步:在区间上任取一小区间,并考虑它上面的图形的面积,这块面积可用以为高,以为底的矩形面积近似,于是第二步:在区间上将无限求和,得到.图2
4、(2)上面所诉方法是以为积分变量进行微元,再求得所围成图形的面积;我们还可以将作为积分变量进行微元,再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形(图2)的面积为:例1 求由曲线,及直线,所围成图形的面积A解 (1)作出图形,如图所示 易知,在上,曲线与的交点为;(2)取为积分变量,积分区间为从图中可以看出,所围成的图形可以分成两部分;(3)区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为, ,所以,所求图形的面积为=+例2 求椭圆的面积.解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 利用椭圆的参数方程 应用定积分的换元法,且当时,时,于是2求旋转体体积用类似求平
5、面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块,每一块的厚度为,假设每一个基本的小块横切面积为,为上连续函数,则此小块的体积大约是,将所有的小块加起来,令,我们可以得到其体积: 。例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形,因为图形绕轴旋转,所以取为积分变量,的变化区间为1,4,相应于1,4上任取一子区间,+的小窄条,绕轴旋转而形成的小旋转体体积,可用高为,底面积为的小圆柱体体积近似代替,即体积微元为 =, 于是,体积 =1616=12.3.求曲线的弧长(1)设曲线在上有一阶连续导数(如下图),利用微元法
6、,取为积分变量,在上任取小区间,切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度,即.得弧长微元为:,再对其积分,则曲线的弧长为:(2)参数方程表示的函数的弧长计算,设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为:即则曲线的弧长为 例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度解 由公式 = ( )知,弧长为=.(2)求摆线 在上的一段弧的长度()解 取为积分变量,积分区间为由摆线的参数方程,得, 于是,由公式(16-13),在上的一段弧的长度为 2、定积分在经济中的应用(1)、由经济函数的边际,求经济函数在区间上的增量根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量的变动区间上的改变量(增量)就等于它们各自边际在
7、区间上的定积分: (1) (2) (3)例1 已知某商品边际收入为(万元/t),边际成本为5(万元/t),求产量从250t增加到300t时销售收入,总成本C,利润的改变量(增量)。解 首先求边际利润所以根据式(1)、式(2)、式(3),依次求出:=150万元=250万元=100万元(2)、由经济函数的变化率,求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为,则称 为该经济函数在时间间隔内的平均变化率。例2 某银行的利息连续计算,利息率是时间(单位:年)的函数:求它在开始2年,即时间间隔0,2内的平均利息率。解 由于所以开始2年的平均利息率为 例3 某公司运行(年)所获利润为(元)利润的年变
8、化率为(元/年)求利润从第4年初到第8年末,即时间间隔3,8内年平均变化率解 由于所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为(元/年)即在这5年内公司平均每年平均获利元。(3)、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在(年)时的收入为(万元),年利率为,即贴现率是,则应用定积分计算,该项目在时间区间上总贴现值的增量为。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A(万元),竣工后的年收入预计为(万元)年利率为,银行利息连续计算。在进行动态经济分析时,把竣工后收入的总贴现值达到A,即使关系式成立的时间T(年)称为该项工程的投资回收期。例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收
9、入预计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。解 这里,则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为 令 =1000,即得该工程回收期为 =6.39(年)3、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分,即 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示求汽车在这1 min 行驶的路程解:由速度一时间曲线可知:因此汽车在这 1 min 行驶的路程是:答:汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .总结:从上面的论述中可以看出,定积分的应用十分的广泛,利用定积分来解决其他学科中的一些问题,是十分的简洁、方便,由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习,各个学科之间都是有联系的,若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用,则不仅能加深对知识的理解,贯通了新旧知识,还能拓宽知识的应用范围、活跃思维,无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.在已确定的场地上,采用多种手段查明场地工程地质条件;采用综合评价方法,对场地和地基稳定性做出结论;对不良地质作用和特殊性岩土的防治、地基基础形式、埋深、地基处理等方案的选型提出建议;提供设计、施工所需的岩土工程资料和参数。9