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1、 1 定积分概念 教学要求： 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积； 2. 变力所作的功 二、定积分的定义从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义定义 设 是定义在区间上的
2、一个函数，在闭区间上任取n-1个分把 a,b 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示, 分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式 以后简记为 此和式称为 在上属于分割T的积分和（或黎曼和，设是一个确定的数，若对任意总存在某个，使得 上的任何分割T，只要它的细度，属于分割T的所有积分和 都有则称在上可积，称J为函数在区间上的定积分(或黎曼积分)，记作其中称为积分函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分 的上限和下限。利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为变力作功问题可表示为 三理解定积分定义要注意以下三点：1）定积分定义与
3、我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关 3) 表示分割越来越细的过程， 分点个数，但反过来并不能保证 ， 所以 不能写成 四、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间 作为分法 , . 取 .= .由函数在区间 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如
4、例1 , 有 .上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 .2 牛顿莱布尼茨公式教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式教学内容：牛顿莱布尼茨公式(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9-1 若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为。证： 给定任意一个分割：， ，这里，用了Lagrange 中值定理。，由Cantor 定理，在一致连
5、续，所以，只要，就有。于是，当时，对，有 。注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如：在上连续，在内可导，且。而只要在上可积即可。注2：本定理对的要求是多余的。 设在可积（不一定连续），又设在上连续，并且在上，则。证： 任给一分割，由Lagrange中值定理 ，。 因在可积，令，则上式右边。所以 。例 1、 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分：1）（n为整数）； 2）（0ab）； 3）；4）； 5）.3 可积条件教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件(2) 较高要求：掌握定积分的
6、第三充要条件一、可积的必要条件定理9-2 若函数在上可积，则在上必有界。证：（反证法） 若函数在上无界，对于的任意分法 则至少存在一个子区间，不妨设为，在其上无界。对于任取的，注意到 其中。于是对于任意取定的，。因在上无界，对于任意给定，使得可见对于的任意分法，使得可见积分和无界，从而函数在上不可积，此与假设相矛盾。注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。例1、 证明狄利克雷函数在上有界但不可积。证：对于的任意分法 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。若取，且是上的有理数，则积分和若取，且是上的无理数，则积分和从而，根据
7、定义3知，在上不可积。二、 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T=为对,b的任一分割。由在,b上有界知，它在每个上存在上、下确界： ,.作和，分别称为关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，显然有。说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点的取法无关。定理9-3（可积准则） 函数在上可积对，使得。设，并称为在上的振幅，有必要时记为。则有。定理9- 函数在上可积对，使得。不等式或的几何
8、意义：若函数在上可积，则下图中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三、 可积函数类定理9-4 若函数为上的连续函数，则在上可积。证：根据在闭区间上连续函数性质，必在上一致连续，即，对于，只要，有 对于的任意分法，只要，注意到，使得，从而有 所以 即 由定理9-知，。如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论：定理9-5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。证：由假设在有界，即，使，从而在上的振幅。又已知在上有有限个间断点，不妨设有个间断点。对于的任意分法，在其分割成的个小区间中至多有个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分 其中
9、是相应于分法含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为项。是相应于分法不含有间断点的那些小区间的振幅和。因为的项数至多为项，故时，有 因为在对应的那些小区间上连续，从而必一致连续。故时，在这些小区间的振幅都小于。于是 取，对于的任意分法，只要，有 即 从而。下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。定理9-6 若是区间上的单调函数，则在上可积。证： 不妨设单调增加。若，则，从而由定理9.4，。若，对于满足的任意分法，有 由此即推知。4 定积分的性质教学目标：掌握定积分的性质教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理(2) 较高要求
10、：较难的积分不等式的证明我们在9.1、9.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。性质1（线性性质）： 若函数，则函数，且 （2）证： 作函数的积分和 由假设，故与存在。于是由极限性质知存在，从而，且即 如果式（2）中，令，；，可得推论1：若函数，则，且（3）性质2（可加性质）： 设为一个有限闭区间，若在上可积，则在、上均可积，且 （4）证：利用函数可积充要条件式，可以证明在的任一子区间上均可积。若，则对的任意分法，总有 （5）这时将始终作为分法的一个分点，则（6）这里与分别表示相应于分法函数在与上的积分和，由、及式（5）和式（6），有 若在之外，不妨设，则，由上面的讨论，有 从而 总之不论、在
11、区间的位置如何，总有式（4）成立。性质3：（单调性质）： 若函数，且，则 （7）推论2：若函数，且，则（8）推论3：若函数，且，则 （9）性质4：若函数，则，且 （10）证： 分别记函数与在区间上的振幅为与，由于 于是即，所以。又注意到，对任意函数，总有 再根据性质3，有可见式（6）成立性质5（积分第一中值定理）： 若函数，函数在区间上可积且不变号，则在上至少存在一点，使得 （15）证：首先由性质4，函数乘积。不妨设。记，则 根据性质5，有 （16）由性质5的推论2，有。如果这个积分为，由不等式（12）推知此时，对任意的，均有式（11）成立；如果这个积分大于，则对式（12）两端同除以该积分值以后，得再由闭区间上连续函数的性质，在上至少存在一点，使 即特别，如果，由性质3.7得：推论4：若函数，则在上至少存在一点，使得 （17）式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数，且，那么如图3.1所示，积分 表示曲线下面曲线梯形ABCD的面积，而积分中值公式说明，它等于同底但高为的矩形ABEF的面积。称为在上的平均值。例1、 证明：若函数，非负，且，使，则证：不妨设，由于在点处连续，取，当时，有 即
