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1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛
2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅
3、编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌摘 要折叠桌具以其便折叠，占用空间小，易折叠等特点在我们生活中很受一部分人的喜爱；随着现代模具技术的发展，折叠桌的制作材质、外观、稳定性等都得到了进一步提升，创意平板折叠桌也随着科学技术的发展逐步融入我们的生活，在设计折叠桌的过程中，需要考虑它的稳固性强弱、加工难易、用材多少、外观等条件。本文研究的最终目的是
4、根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得折叠桌更加满足人们要求，设计出自己的创意平板折叠桌。针对问题一，根据对平板的尺寸数据的分析以及合理性的假设，考虑木条间间隙，得出桌腿木条共有19根，然后利用勾股定理建立数学模型一，得出桌角与平面间的夹角从0.9948-1.309弧度值变化时最长桌腿木条长和最短桌腿木条长。通过查阅资料可知，当一侧的两个桌角长及其延长线构成一个黄金三角形时，折叠桌的结构最稳定，再通过将空间模型简化为点、线，建立空间直角坐标系，然后利用MATLAB软件实现数据的处理，一方面验证了模型一得
5、出的数据，另一方面结合黄金三角形的稳定性原理 得出了折叠桌的设计参数的取值范围，如圆桌的半径桌半径为26.0799cm等，折叠桌的动态变化过程，主要是建立直角坐标系，通过坐标来表示折叠桌时刻的位置变化来实现，桌角边缘线是通过求出桌角坐标点，进而用插值拟合求解。针对问题二，稳固性是通过最外侧桌角与地面的夹角是否为问题一中的最佳夹角范围来确定1，加工方便主要考虑，木条宽度与开槽长度，用材最少即在满足折叠桌站立时长方形平板体积最小来实现，通过摩擦锥角的比较，进而可知当最短木腿长的反向延长线交于一点落于折叠桌的正投影中心位置时，整个折叠桌的稳固性较好，通过最外侧桌腿与地面间的夹角限制来确定折叠周的最优
6、化设计加工参数。可知平板材料的尺寸为175cm 80 cm 3 cm,钢筋的位置为折叠桌高度的三分之一处，开槽长度如下。针对问题三，我们根据目标分析法进行建模求解。问题要求设计出的折叠桌更加满足顾客的要求，我们通过刻画桌面边缘线的形状大小来实现这一目标。对目标限制了三个因素，进而优化桌面边缘线，选取出合适的折叠桌平板尺寸和加工参数。关键词：勾股定理 三角函数 插值拟合 MATLAB 黄金三角形 目标分析法1问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各
7、组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板
8、材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。附件1：图片附件2：视频2问题的分析针对问题一：首先确定设计折叠桌必要的参数有桌腿木
9、条的根数，桌腿的长度，桌腿木条开槽的长度，圆桌的半径，桌腿最低端距离地面的高度，桌腿与水平面间的夹角。对桌腿的数量分析知道，一方面，现在最薄的刀厚度也要达到3mm，当然电火花切割会小得多，补偿值仅是0.2mm，即没有耗损的切割是做不到的，并且为了保证桌腿能够自由转动，桌腿与桌腿之间应该具有一定的间隙，另一方面，我们很容易分析出如果是20根桌腿木条，那么折叠桌在折叠时会有最里面的两个木条的是紧挨着且运动轨迹完全相同那么会造成折叠桌不稳定的情况，这样的折叠桌是不合理的，而且未做到木料的充分利用，所以桌腿木条的数量为19根。通过计算我们得到19根木条之间的空隙为0.1389cm，满足假设和实际情景，
10、通过构建空间直角坐标系，运用MATLAB软件，我们可以得到相关数据，并用MATLAB画图软件描绘出折叠桌的空间运动轨迹，并拟合出桌角边缘线的数学描述。需要注意的是：考虑实际情况最外层即最长桌腿木条的开槽仅仅是满足能插进钢筋即可，开槽长度在计算时忽略不计，即认为为0。针对问题二；对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，要保证折叠桌的稳固性则最外侧桌腿与地面的夹角在0.99481.309弧度值变化范围内，为加工方便，我们可以减少木条的切割次数，及其木条开槽长度的大小，用材最少即长方形平板的体积最小，我们可以求出最短木条开槽的最底端距离最短木条端点的距离，保留适当的长度，然后做与最外侧木条垂直，过最
11、适长度切点切割，保持最外侧木条不变，此时长方形平板的体积即为最小。在稳固性的求解中，通过限制夹角的大小，与钢筋距离地面的距离，可确定一个目标函数，用目标分析法，可以求得折叠桌的最优设计加工参数。针对问题三：为了设计出折叠桌美观尽可能的满足顾客的需求，我们将刻画桌面边缘曲线形状作为目标函数，结合问题一和问题二的建模结果，得到约束条件一：钢筋位置约束；约束条件二：开槽长度约束；约束条件三：桌子高度约束；通过建立约束条件和目标函数的关系得出了折叠桌在立起来稳定的时候所产生的桌角边缘线可以更好地满足客户对桌角边缘线的要求时平板尺寸和加工参数。 3模型的假设与符号说明31 模型的假设假设一 合叶能将折叠
12、桌完全平铺，桌腿木条与桌面之间没有任何缝隙。假设二 折叠桌任何部分的材质都完全一样。假设三 最长的桌腿木条的开槽长度在计算时忽略不计，即认为为0。32 符号的说明长方形平板的长长方形平板的宽长方形平板的高每根木条的宽木条的个数桌腿最外侧木条与水平面间的夹角桌腿最短木条与垂直水平面的直线间的夹角每根木条间的间隙桌面半径4模型的建立与求解4.1问题一：能够保持相对静止，并且在一定时间内保持的状态的持续性叫做稳定。坚固是稳定给人的第一感觉，坚固的本质便是源于构成体的质点以最少的连接组合在一起所表现出强大的作用力时的外在物质表现2。在二维世界里三角形的稳定性是不争的事实。在实际现实情况下，三维立体实物
13、色稳定是我们必需考虑的。由此根据实际情况而设计“三角体”的类型，如等腰“三角体”、“直角三角体”等等。实物的整体构造可以采用横向三角式和纵向三角式。本文中考虑该折叠桌桌腿的设计是横向三角式。满足三角形稳定性，所以易知。模型一：由题目所给定折叠桌平铺时的长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条的宽度为2.5cm，可得最多可有20根木条，根据问题分析确定桌腿木条数量为19根，所以木条之间的平均间隙为代入数据解得根据桌面平铺时的状态，运用CAD软件可制图如下：图1 折叠桌立体图图2 折叠桌平铺图由图1，图2可得：最长桌面木条的半长：最短桌腿木条长：最短桌面木条的半长：最长桌腿木条
14、长：已知桌面的高度为53cm,桌面的厚度为3cm，所以桌面距离地面的距离为50cm可推得： （1）如图2，我们建立的是外接圆，所以,通过计算可知当时，（1）等式不成立上式，当时（1）等式才会成立，又由题意可知（当为0时木板整体为长方形平板，当为时只有最长的四条桌腿着地，与地面垂直）钢筋固定的位置距离地面的高度最短桌腿木条距离地面的高度最短桌腿木条开槽的最低端距离木条终端的距离，考虑到沿木条有空槽以保证滑动的自由度，保证折叠桌的设计稳固性好，故由于钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，不仅起到了固定木条的作用，而且钢筋的坚固性还可以通过空槽给木条施力，保证折叠桌的稳固性，在此我们通过所给的范围，求出R的大致范围，在这些范围中，确定一个最适合组合，的确定，我们考虑的是，当桌腿最外侧的木条与最短桌腿的木条关于垂直水平面的直线对称时稳固性会更好。根据上
