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1、数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。（1） 分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（2） 给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。解答：（1） 分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的
2、部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。又因为形状一定时一般有sw2/3,故商品的价格可表示为C=+2/3+（，为大于0的常数）。（2） 单位重量价格c=Cw=+-1/3+-1,显然c是w的减函数。说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0+t,为增长率。又设单位时间的销售量为x=a-bp(p为价格)。今将销售期分为0tT/2和T/2tT两段，每段的价格固定，记为p1,p2.求p1,p2的最优值，使销售期内
3、的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为Q0,再求p1,p2的最优值。解答： 由题意得：总利润为U（p1,p2）=0T/2p1-q(t)(a-bp1)dt+T2Tp2-qt(a-bp2)dt=T/2a-bp1-bp1-q0+T4+a-bp2-bp2-(q0+3T/4)由UP1=0，UP2=0，可得最优价格p1=12ba+b(q0+T4),p2=12ba+b(q0+3T4)设总销量为Q0，Q0=0T2a-bp1dt+T2Ta-bp2dt=aT-bT2(p1+p2)在此约束条件下U（p1,p2）的最大值点为p1=ab-Q0bT-T8,p2=ab-Q0bT+T8题目33.某商店要订购一批商品零售
4、，设购进价c1,售出c2,订购费c0(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为c3(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？解答： 设订购量为u，则平均利润为Ju=c20urprdr+uuprdr-c0+c1u+c30u(u-r)p(r)dr=c2-c1u-c0-(c2+c3)0u(u-r)p(r)dru的最优值u*满足0u*prdr=c2-c1c2+c3最大利润为Ju*=(c2+c3)0u*rprdr-c0.为使这个利润为正值，应有c00，n0=n0得nt=n0e-t.每尾鱼重w
5、(t)满足w=w2/3-，不妨近似设w(0)=0，得wt=3(1-e-t/3)3.（2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则tT时有n=-(+E)n，因此得nt=n0e-Te-(+E)(t-T)，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是y=Tw(t)En(t)dt=0()31-e-(+T)/33En0e-Te-(+E)d，问题为求，E使y最大，可用数值法求解。题目99.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s, 的关系。解答：设fp,v,s,=0,量纲表达式：p=L2MT-3,v=LT-1,s=L2
6、,=L-3M，解得F=0，=-1v3s，故p=v3s(是无量纲常数)。题目1010.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。解答：植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作x1t,x2t,x3t.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为x1=x1r1-1x2,x2=x2-r2+2x1-x3,x3=x3-r3+3x2平衡点为P1（0，0,0），P2(r22,r11,0).题目1111.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入x1（
7、千元），风险偏好度x2和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。表2序号123456789y1966325284126144949266x166.2940.9672.99645.0157.20426.85238.12235.8475.796x27510645469序号1011121
