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1、第一章实数集与函数第一章实数集与函数 11 实数实数 授课章节：授课章节：第一章实数集与函数1 实数 教学目的教学目的：使学生掌握实数的基本性质 教学重点教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 （它们 是分析论证的重要工具） 教学难点教学难点：实数集的概念及其应用 教学方法教学方法：讲授 （部分内容自学） 教学程序教学程序： 引引 言言 上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主 要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程 的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数
2、开始 问题问题 为什么从“实数”开始 答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在 “实数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复数集上的函数） 为此， 我们要先了解一下实数的有关性质 一、实数及其性质一、实数及其性质 1 1、实数、实数 ( , q p q p 有理数: 任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示， 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. 无理数: 用无限十进不循环小数表示. |Rx x一一一-一一一一一一一 问题问题 有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以 下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数” 为此作如下规
3、定： 对于正有限小数其中 012 ., n xa a aa ，记； 0 09,1,2, ,0, in ain aa为非负整数 011 .(1)9999 nn xa aaa 对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数） 0, xa 0 (1).9999xa ，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0 表示为yy 00.0000 例： ；2.0012.0009999 2 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下， 如何比较实数的大小？ 2 2、两实数大小的比较、两实数大小的比较 1）定义定义 1 1 给定两个非负实数，. 其中 01 . n xa aa 01 . n
4、yb bb 为非负整数，为整数，若有 00 ,a b, kk a b(1,2,)k 09,09 kk ab ，则称与相等，记为；若或存在非负整数 ，,0,1,2, kk abkxyxy 00 abl 使得，而，则称大于或小于，分别记为,0,1,2, kk abkl 11ll ab xyyx 或对于负实数、，若按上述规定分别有或，xyyxxyxy xy 则分别称为与（或） xyxyyx 规定规定：任何非负实数大于任何负实数 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义定义 2 2（不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数 01 . n xa aa 为实数的位不足近似
5、位不足近似；称为实数的位过剩近位过剩近 01 . nn xa aaxn 1 10 nn n xxxn 似似，.0,1,2,n 对于负实数，其位不足近似；位 01 . n xa aa n 01 1 . 10 nn n xa aa n 过剩近似. 01 . nn xa aa 注：实数的不足近似当增大时不减，即有； 过剩近x n xn 012 xxx 似当 n 增大时不增，即有 n x 012 xxx 命题命题：记，为两个实数，则的等价条 01 . n xa aa 01 . n yb bbxy 件是：存在非负整数 n，使（其中为的位不足近似，为的 nn xy n xxn n yy 位过剩近似） n
6、命题应用命题应用 例例 1 1设为实数，证明存在有理数 ，满足, x yxy r xry 证明：由，知：存在非负整数 n，使得令，则xy nn xy 1 2 nn rxy r 为有理数，且 32.9999 2.0012.009999 32.9999 ； ； 3 即 nn xxryyxry 3 3、实数常用性质、实数常用性质（详见附录） 289302 PP 1 1）封闭性）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的即任意两个实数的R, , , 和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数 2 2）有序性）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一., a bR,ab ab ab 3 3）传递性）传递性：，abc
7、R，,ab bcac若，则 4 4）阿基米德性）阿基米德性：使得,0a bR banN nab 5 5）稠密性）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数 6 6）一一对应关系）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系R 例例 2 2设，证明：若对任何正数，有，则, a bRabab （提示：反证法利用“有序性” ，取）ab 二、绝对值与不等式二、绝对值与不等式 1 1、绝对值的定义、绝对值的定义 实数的绝对值的定义为a ,0 | 0 aa a aa 2 2、几何意义、几何意义 从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离表示就是数轴a|aa|xa 上点与之间的距离xa 3 3、性质、性质 1
8、）（非负性） ； | | 0;| 00aaaa 2）；|aaa 3），；|ahhah |.(0)ahhah h 4）对任何有（三角不等式） ；, a bR| | |ababab 5）； | | |abab 6）（） | | aa bb 0b 三、几个重要不等式三、几个重要不等式 1 1、 ,2 22 abba. 1 sin x. sin xx 4 2 2、均值不等式:对记, 21 R n aaa (算术平均值), 1 )( 1 21 n i i n i a nn aaa aM (几何平均值),)( 1 1 21 n n i i n ni aaaaaG (调和平均值). 111 1 111 )(
9、 1121 n i i n i i n i a n anaaa n aH 有平均值不等式:即：),( )( )( iii aMaGaH 12 12 12 111 n n n n aaan a aa n aaa 等号当且仅当时成立. n aaa 21 3 3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式, 1x(1)1, . n xnxn N 当且,且时,有严格不等式1x0xNn2n.1)1 (nxx n 证：由且01 x111)1 (1)1 ( , 01 nn xnxx ).1 ( )1 ( xnxn n n .1)1 ( nxx n 4 4、利用二项展开式得到的不等式
10、:对由二项展开式, 0h , ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 32nn hh nnn h nn nhh 有 上式右端任何一项. n h)1 ( 练习练习P45 课堂小结课堂小结：实数：. 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 作业作业P41(1)，2(2)、(3)，3 22 数集和确界原理数集和确界原理 授课章节：授课章节：第一章实数集与函数2 数集和确界原理 5 教学目的教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：教学要求： (1)掌握邻域的概念； (2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运 用. 教学重点教学重点：确界的
11、概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法教学方法：讲授为主. 教学程序教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新 课. 引引 言言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自 学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何有：(1)；(2) xR|1|2| 1xx .|1|2|3| 2xxx （）111 (2)12 ,121xxxxx （） （）2121,231,232.xxxxxx （）三式相加化简即可 2、证明：.|xyxy 3、设，证明：若对任何正数有，则.,
12、a bRabab 4、设，证明：存在有理数 满足.,x yR xyryrx 引申引申 ：由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常 的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论： 一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同； 理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习 题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课 程的术语和工具. 本节主要内容本节主要内容： 1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集； 3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（
13、确界原理）. 一一 、区间与邻域、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 设且.，其中, a bRab 有限区间 区间 无限区间 6 |( , ) | , | , ) |( , xR axba b xR axba b xR axba b xR axba b 开区间: 闭区间: 有限区间 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: | ,). |(, . |( ,). |(, ). |. xR xaa xR xaa xR xaa xR xaa xRxR 无限区间 2、邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，a 到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间” ；如何用数a 学语言来表达呢？ （1）的的邻域邻域：设，满足不等式的全体实数的集a,0aR|xax 合称为点的邻域，记作，或简记为，即a( ; )U a( )U a .( ; )|(,)U ax xaaa 其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径. （2）点点的空心的空心邻域邻域a .( ; )0 |(, )( ,)( ) oo Uaxxaaaa aUa （3）的的右邻域和点右邻域和点的空心的空心右邻域右邻域aa 00 ( ; ) ,)( ); ( ; )( ,)( ). Uaa aUax axa Uaa aUax axa
