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1、2008.19（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列解：（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或
2、末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。2009.17（本小题满分14分）学科网设是公差不为零的等差数列，为其前
3、项和，满足。学（1）求数列的通项公式及前项和；学科网（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设，则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。2010.19（16分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列.求数列的通项公式（用表示）设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+S
4、ncSk都成立。求证：c的最大值为2011.20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立。（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式。解析：（1）即：所以，n1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2012. 20（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求
5、证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。2013.19（本小题满分16分）设是首
6、项为，公差为的等差数列，是其前项和记，其中为实数（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而0，故经检验，当时是等差数列2014. 20(本小题满分16分)设数列的前n项和为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立【答案】本小题主要考查数列的概念、等差
7、数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当时，当时，时，当时，是“H数列”（2）对，使，即取得，又，（3）设的公差为d令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.2015. 20设是各项为正数且公差为的等差数列， （1）证明：依次构成等比数列； （2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。（1）证明：设，因为： 因为，所以 依次构
8、成等比数列。 因为，所以 依次构成等比数列。 所以依次构成等比数列。（2）假设依次构成等比数列，那么应该有： ，因为 ，所以(a)，考察(a)的解， 故为的极大值，而，所以符合（a）的解。 又，（因为数列各项为正数）。所以 ，解得 ，。 所以，这与（a）矛盾。所以不存在这样的，使得依次构成等比数列。（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，那么： ，而 (a) .(b) 由于，而，（且各项不等） 所以，所以。 令，则，同理， 。代入(a),(b)得： ，等式两边取对数变形得： 由（e）（f）得到新函数:，求导得到： ，令 ，求二阶导数得： ，令 ，则， 而，故单调递减，又，所以除了 外无零点，而这与题目条件不符。 所以：不存在及正整数，使得依次构成等比数列。 工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。
