排列组合部分知识总结.doc

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1、计数原理计数原理 排列组合排列组合 标纲解读标纲解读：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 2.会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。 3.理解排列、组合的概念，区分它们的异同。 4.能利用计数原理推到排列数公式、组合数公式，能解决简单实际问题。 命题规律与趋势命题规律与趋势：排列组合是高考每年必考内容之一，一般有 12 道小题，且多为选择题、填空 题。虽然在高考之中所占比重不大，但试题都具有一定得灵活性和综合性。高考对排列、组合内 容的考查一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性比较强，并充满思辨性，解 决具有多样性，符合高考选择题的特点，易

2、于考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力 及分类讨论的思想。 突破方法突破方法： 1.使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完 成这件事时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理。怎样确定是分类还 是分步呢？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事情，而分“步骤”必须把各 步骤均完成才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于明确分类计数原理强调完 成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间的交集为空寂，并集为全集，不论哪一类办法中 的那一种方法都能单独完成事件。分步计数原理强调各步骤之间缺一不可，需要一次完成所 有步骤才能完成事

3、件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方 法。 2.排列与组合定义相近，它们的却别在于是否与顺序有关。 3.复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途 径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验。 4.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要 注意题设中“至少” “至多”等限制词的意义。 5.处理排列、组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素（组合） ，后排列，按元素的性质 “分类”和按事件发生的连续过程“分步” ，始终是处理排列、组合问题的基本方法结合原 理，通过

4、解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。 6.运用分类计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏。 7.运用分步计数原理时，要确定好次序，并且每一步都是独立、互不干扰的，还要注意元素是 否可以重复选取。 8.对于复杂问题，可同时御用两个基本原理或借助列表、画图的方法来帮助分析。 9.在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题 是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质。容易产生错误的是 重复和遗漏计数 解题技巧：解题技巧： 1解决排列与组合综合问题的方法和规律 （1）排列与组合的应用题是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题解

5、决这 类问题通常有三条途径： 以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法 （2）在求解排列与组合应用问题时，应注意： 把具体问题转化或归结为排列或组合问题； 通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； 列出式子计算并作答 2常见的解题策略有以下几种： （1）特殊元素优先安排的策略 （2）合理分类与准确分步的策略 （3）排列、组合混合问题先选后排的策略 （4）正难则

6、反、等价转化的策略 （5）相邻问题捆绑处理的策略 （6）不相邻问题插空处理的策略 （7）定序问题除法处理的策略 （8）分派问题直排处理的策略 （9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 （10） 构造模型的策略 3解排列组合的应用题要注意以下几点： 3 （1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题。要按元素性质分类，按事件发生的过程进行 分步。 （2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分 析，全面考虑。 （3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分 解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 （4）由于排列组合问

7、题答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查 所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结 果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一。 知识导学知识导学： 1.分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中，有 1 m种不同的方法，在第 2 类办法中，有 2 m种不同的方法，在第类办法中，有 n m种不同的方法，那么完成这件事 共有N 1 m 2 m n m种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步，有 1 m种不同的方法，做第 2 步，有 2 m种不同的方法，做第步，有 n m种不同的方法，

8、那么完成这件事共有 N 1 m 2 m n m种不同的方法. 排列数公式： )1()3)(2)(1( mnnnnnAm n （这里、 * N，且） （2）组合数公式 n mnnnnn A A C m m m nm n ) 1()3)(2)(1( （ 这里、 * N，且） 组合数的两个性质 mn n m n CC 规定：1 0 n C )!( ! mn n Am n )!( ! ! mnm n C m n 1 1 m n m n m n CCC 例 l、分类加法计数原理的应用 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析：分析：该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，

9、完成这件事，只要两位数的个 位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类 解法一：解法一：按十位数上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 的情况分成 8 类，在每一类中 满足题目条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，l 个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l 36 个 解法二：解法二：按个位数字是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数 分别是 l 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个， 所以

10、按分类加法计数原理共有 l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 个 点评：点评：分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种 方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事。解决该类问题应从简单分 类讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题 例 2、分步乘法计数原理的应用 书架上的一格内有 6 本不同的书，现在再放上 3 本不同的书，但要保持原有书的相对顺序不 变，那么所有不同的放法共有多少种？ 解析：解析：把 3 本不同的书放入书架，需保持书架上原有书的相对位置不变 完成这件事分为三个步骤，每一步

11、各放 1 本 第一步有 m1 = 7 种放法，第二步有 m2 = 8 种放法，第三步有 m3 = 9 种放法， 由分步乘法计数原理可知，共有 N = m1m2m3 = 789= 504 种放法 例 3、两个计数原理的综合应用 有一项活动，需在 3 名老师，8 名男同学和 5 名女同学中选人参加 （l）若只需一人参加，有多少种不同方法？ （2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ （3）若需一名老师和一名同学有多少种不同选法？ 解析：解析：（l）有三类选人的方法：3 名老师中选一人，有 3 种方法；8 名男同学中选一人，有 8 种方法；5 名女同学中选一人，有 5 种方法。 由

12、分类加法计数原理，共有 38516 种选法 （2）分三步选人：第一步选老师，有 3 种方法；第二步选男同学，有 8 种方法；第三步 选女同学，有 5 种方法由分步乘法计数原理，共有 385 = 120 种选法 （3）可分两类，每一类又分两步第一类：选一名老师再选一名男同学，有 38 = 24 种 选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有 3515 种选法 由分类加法计数原理，共有 241539 种选法 5 点评：点评：在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚 “分类”或“分步”的具体标准在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要 正确设计“分

13、步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性 例 4、排列的应用问题 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端 分析：分析：本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问 题的能力 解析：解析：（l）方法一：方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有种 站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法， 根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种） 方法二：方法二：由于甲不站两端，这两

14、个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法， 然后中间 4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种） 方法三：方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这 两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种） （2）方法一：方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行 全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法 方法二：方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供 甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240 （种） （3）因为甲、乙不相

15、邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人 站队，有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种，故共 有站法为= 480 （种）. 也可用“间接法”，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种 站法，所以不相邻的站法有720240480（种） （4）方法一：方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站 队，有种，故共有种站法 方法二：方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种， 然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、

16、乙进行排列，有种方法，故共有144 种站法 （5）方法一：方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置 作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法 方法二：方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由 剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法 （6）方法一：方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端 的站法有种，共有种站法 方法二：方法二：以元素甲分类可分为两类： 甲站右端有种， 甲在中间 4 个位置之一，而 乙不在右端有种，故共有=504 种站法 例 5、组合的应用问题 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从 中选 5 人主