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1、中学数学解题策略课程讲义教师教育学院任课教师 朱鸿玲第一章 轨迹教学目的要求：使学生掌握轨迹探求的方法，学会轨迹问题两面证明的方法教学方式: 以讲授为主，采取讲练结合的教学方式教学内容:第一节 轨迹的意义第二节 轨迹命题的三种类型第三节 基本轨迹命题第四节 三种类型轨迹命题举例第一章 轨迹1 轨迹的意义一、 轨迹的概念轨迹概念来源于力学，而形成、完善于几何学。定义：满足条件C的一切点所构成的图形F，称为由条件C所规定的轨迹。轨迹定义揭示了以下两方面意义：（1） 适合条件C的任一点都在图形F上；（2） 图形F上的任一点都适合条件C。（1）称作完备性（2）称作纯粹性，它们是轨迹的两个基本属性。二、
2、 轨迹的证明与普通几何定理不同的是，对于一个轨迹题，要特别注意两面证的必要性，这是轨迹定义所规定的：（1）完备性：适合条件C的任一点都在图形F上；（2）纯粹性：图形F上的任一点都适合条件C。逆否命题：（1）完备性：不在图形F上的任一点，必不适合条件C。（2）纯粹性：不适合条件C的任一点，必不在图形F上；完备性保证了合于条件的点都在图形上，没有遗漏，纯粹性保证了图形上的点没有鱼目混珠或冒充，都适合条件。 2 轨迹命题的三种类型 轨迹命题因叙述方式的不同而分为三种类型，这是由浅入深由易到难的顺序。第一类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状和位置，如有大小可言，也一并指出。证明第一类型的命题分为三步：（1
3、）证完备性，即证明合于条件的点都在指示的图形上，或证其等效命题，即不在所示图形上的点不合于条件;(2)证纯粹性，即证所示图形上的点合于条件，或证其等效命题，即不合条件的点不在所示图形上;(3)下结论，即判断命题成立。不待证明完毕，便说“满足条件的点在轨迹上”或“在轨迹上的点满足条件”，是没有意义的。因为这两句话是不待证明便成立的，至于轨迹是什么图形，在没有完成完备性或纯粹性的证明之前充其量是一种预测。第二类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状，至于位置或大小，或叙述不全，或干脆不说。解决第二类命题也分三步：（1）探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定;（2）证明(其中包括：证完备性、证纯粹性
4、、下结论);（3）讨论，即研究给定的条件对轨迹的影响，第三类型轨迹命题，只给出条件，至于轨迹的形状、位置和大小则一概不提。解这一类型的命题，如解决第二类型一样，只是探求时还麻烦一点而已。 举例: 第一类型：距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。 第二类型：距两定点等远的点的轨迹是一条直线。 第三类型：求距两定点等远的点的轨迹。3 基本轨迹命题 下列轨迹命题乃读者所熟知，述而不证，以备应用 1距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线 2距两相交直线等远的点的轨迹，是两条互垂的直线，它们平分两定线所成的角 3距两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行于它们的一条直线即两平行线的公垂线段
5、的中垂线 4至定直线的距离为定长的点的轨迹，是平行于定直线的两条直线，各在定直线的一侧且距离定线等于所设定长 5至定点的距离为定长的点的轨迹为一圆周，以定点为其中心而以定长为半径 6对定线段的视角为定角 (02d) 的点的轨迹，是对称于定线段(所在直线)的两个圆弧，以定线段为弦而其内接角等于. 不但会说出还要会作出这两圆弧 特别，当= d时，轨迹变为以定线段为直径的圆周 4 三种类型轨迹命题举例1. 第一类型轨迹命题举例 上面已讲过，第一类型轨迹命题中含有条件以及轨迹的形状、位置乃至大小，我们所要做的只是互逆的两面证明，以证实结论例1 设一点与一定圆的距离等于圆半径,则该点的轨迹为该圆中心和一
6、个半径加倍的同心圆的并. 假设:点P与定圆O(r)的距离PA=半径r 求证:点P的轨迹是点O和圆O(2r) 证明: 1证完备性 设 P在圆O(r)内部,连P,O两点延长交圆于A点, 则由假设OP=OA-PA=0，即点P重合于圆心O. 若P在圆O(r)外部,连P,O与O(r)交于A点则PA=r 则OP=OA+AP=r+r=2r,即点P在圆O(2r)上. 2证纯粹性 根据定义,点O到圆O(r)的距离是r,即点O合乎条件. 其次在圆O(2r)上任取一点P,因P在圆O(r)外部. 线段OP必交圆O(r)于一点A,且AP=OP-OA=2r-r=r. 即点P合乎条件. 3由1,2,所以合乎条件的点的轨迹是
7、点O和圆O(2r)的并集.例2 给定直角XOY，一条定长（记为a）的线段AB两端在角的两边上滑动，则AB中点P的轨迹是以O做中心以做半径的圆被角的两边所截的弧QR（见图）证：10完备性（即要证满足条件的AB线段上的中点P的全体，都在RQ上）设P为AB中点，则P为直角OAB斜边中点。OP=AB= 即点P确在弧QR上。20纯粹性（即弧QR上任一点均是满足条件的P）在弧QR上任取一点P，以P为中心作通过点O的圆，交直角XOY的两边于A、B。由于XOY=Rt。AB是直径，P为中心，做A、B、P共线。故AB=2PO=a即P是一条定长线段AB的中点。P的轨迹是以O做中心以做半径的圆被角的两边所截的弧QR2
8、. 第二类型轨迹命题举例第二类型的轨迹题，结论只给出轨迹形状，而位置、大小或缺，或叙述不全，因而需进一步探求，完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。整个求解过程：包括写已知与求证，探求、证明完备性与纯粹性、讨论等步骤.初等几何上的轨迹，不外（1）直线，（2）射线，（3）线段，（4）圆(可缩为孤立点)，（5）圆弧，（6）以上图形的合成图形轨迹探求法：（1）描迹法（2）预测轨迹性质（3）确定轨迹上的特殊点（4）研究轨迹上任意点与特殊点的关系（5）几何变换法（6）条件代换法等例1 和两定点距离之比等于定比（不等于1）的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏（Apollonius）圆.设A、B点为定点（
9、如图）,求点M的轨迹，使比ABCDOMA定数() 探求：若一点合于此条件，显然关于直线的对称点也合于条件，即所求轨迹以为对称轴，那末就是直径在上的一个圆了.设内分线段于,外分于,使那末点和合于所设条件,轨迹可能是以做直径的圆周了.证: 设为合于条件而不在直线上的任一点,由于,利用三角形一个角的内外角平分线的性质,容易证明和分别内分和外分,于是,从而在以为直径的圆上.设是圆上任一点,过作关于的对称线设它与直线的交点是.既然和是的内外平分线,那末应用连比的性质 但由假设从而由于和在点的同侧,所以实即点 证完了完备性和纯粹性,所以得结论：所求轨迹是以为直径的圆周.（证完备性和纯粹性,宜各画一图.）例
10、2 到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能退缩为一点）。 设A、B 为定点（如图 ），k为定长，求点M的轨迹使满足条件 MA+MB=kABOML 探求：若点M合于条件，显然M关于直线AB的对称点以及M关于AB的中垂线L的对称点也都合于条件。可见轨迹以直线AB和L为对称轴，因而可能是以AB的中点O做中心的圆。证：1设点合于条件，连MO，它是MAB的中线，所以有k=MA+MB=2(AO+MO)于是，MO=1/2r可见合于条件的点M确是在O（r）上，其中r由上式给出。2反之，设M为圆O（r）上任意点，则 MA+MB=2（AO+MO）=1/2AB+2r=k即M合于所设条件。 所以
11、点M的轨迹是圆O（r）。讨论：当kAB/ 时，轨迹为圆；当kAB/时，轨迹是一个孤立点；当kAB/时，轨迹不存在，即没有合适条件的点。例3 到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线。 设、为定点（如图）,为常量(正、负或零)，求满足条件的点的轨迹.ABMN 探求：若点合于条件，显然关于直线的对称点也合于条件.所以如果轨迹是直线，就一定对称于，因而与垂直.只要知道这直线和的交点，轨迹就完全测定了.由于可见此式确定一点以及通过而垂直于的直线证:由刚才探求过程,合于条件的点是在通过定点而垂直于的直线上(将看作一个有向线段,它的值是唯一确定的). 反之,在上任取一点,则有，即
12、点M满足条件.所以轨迹是的垂线当时，是众所周知的的中垂线.满足条件的点的轨迹是关于中垂线的对称线.3. 第三类型轨迹命题举例第三类型题同样首先要探求轨迹。例1.设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作ADBC,在半径OA上截OP=AD,当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？探求：当动点A在B处时，显见OP=AD=0,故P重合于O，即圆心O是轨迹上的特殊点。当点A在BC弧的中点M时，AD重合于MO,点P重合于M，所以M是轨迹上的一点。给定的半圆及给定的条件都具有对称性，即以直线OM为对称轴，所以轨迹也以OM为对称轴。普通位置的P点和O,M之间有何关系，在AOD和OMP之间，有 AD=OP DAO=
13、POM AO=OMAODOMP ,OPM=ADO=d判断轨迹是以OM作直径的圆周。证：1）完备性的证明已见探求部分，合于条件的点P在以OM为直径的圆上。2）在这圆上任取点P，以A表OP线与半圆周的交点，作ADBC,则两个直角三角形AOD和OMP因斜边及以锐角对应相等而合同。OP=AD 即点P合于所设条件。由1）2）轨迹是以OM为直径的圆周注意：描画定半圆的A点虽有起讫点B和C，而所求轨迹却循环无端。习题：1. 切定直线于其上一定点的圆，其中心的轨迹是定直线在该定点的垂线。2. 定圆内定长的弦的中点的轨迹是定圆的一个同心圆。3. 给定两点A、B及AB的一垂线，设通过A、B的动圆交于C，而CM是动圆的直径，求点M的轨迹。第二章 初等几何变换教学目的要求：使学生
