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1、数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 第三章 多维随机变量及其分布教学目的：（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望.重 点：本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数.难 点：难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法学 时：18引入：在有些随机现象中，对每个样本点 只用一个随机变量去描述是不够的，比如研究儿童的生长发育情况，仅研究儿童的身高 或仅研究其体重
2、都是片面的，有必要把 和 作为一个()X()Y()XY整体来考虑，讨论它们总体变化的统计规律性，进一步讨论 和 之间的关系.在有些随机现象()XY中，甚至要同时研究二个以上随机变量.如何来研究多维随机变量的统计规律性呢？仿照一维随机变量，我们先研究联合分布函数，然后研究离散随机变量的联合分布列、连续随机变量的密度函数.3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义 3.1.1：如果 是定义在同一个样本空间 上的 个随机变量，则称12(),()nXX n,为 维（或 元）随机变量或随机向量.n在实际问题中，多维随机变量的情况是经常会遇到的.譬如在研究家庭的支出情况时，我们感兴趣的假
3、定是每个家庭（样本点 ）的衣食住行四个方面，若用1234(),(),XX分别表示衣食住行的花费占其家庭总收入的百分比，则 1234(),(),就是一个四维随机变量.3.1.2 联合分布函数定义 3.1.2：对任意 个实数 ， 个事件 同时发生的概率n12,nx12,nXxXx12(,),nFPx被称为 维随机变量 的联合分布函数.12,nX数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 本章主要研究二维随机变量，二维以上的情况可以类似进行.在二维随机变量 场合，联合分布函数(,)XY(,)FxyPxy是事件 与 同时发生（交）的概率.如果将二维随机变量看成是平面随机点的坐标，那么联合分布函数
4、 在 处(,)XY (,)Fxy,的函数值 就是随机点 落在以 为右上角的无穷矩形内(,)xy(,)XY(,)的概率（见右图）. 定理 3.1.1：任何一个二维联合分布函数 必具有如下四条基本性质(,)xy（1） 单调性： 分别对 或 是单调不减的，即(,)Fxy当 时，有 .121122(,)(,)(,)(,)PXYPXxYyFx当 时，有 .xy（2） 有界性：对任意的 和 ，有 ，且xy0(,)F ；(,)lim(,)li,)0xyF ；,(,xxPXYy ；()li()li)0yy .,(,1xxyFFxy（3） 右连续性：对每个变量都是右连续的，即 ；000 0,(,)lim(,)(
5、,)xxRF有 .0yyFxy有（4） 非负性：对任意的 有,abcd(,)(,)()(,)(,)(,)0bdac FacPbcYd证明(4): PXY(,)(,)(,)(,)dPdXYa,0Fbabca注：任何一个二维联合分布函数 必具有以上四条基本性质，还可证明具有以上四条性质的二元(,)Fxy函数 一定是某个二维随机变量的分布函数.即这四条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变(,)xy量的分布函数的充要条件，比一维情形下多了一个条件.数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 例 3.1.1：判定二元函数 是否为某个二维随机变量的分布函数.0, (,)1xyFy解: 二元函数 的
6、图形如右图0, (,)1xyy由图显然可知二元函数 满足性质（1） （2） （3） ，(,)F但是 (PXY1,)(,)(,)(,1)0所以，性质（4）不满足.故 不是某个二维随机变量的分布函数.(,)Fxy分析：证明某个二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的四条性质（1） （2） （3） （4） ，若证明不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可.3.1.3 联合分布列定义 3.1.3：若二维随机变量 只取有限个或可列个数对 ，则称其为二维离散随机变量，(,)XY(,)ijxy称 (,), 1,2ijijpPxyi为二维随机变量 的联合分布列.还可以用表格表示成如下形式(,)YX
7、1y2jy1xp1p1jp22122j ix1ip2ipijp 联合分布列的性质：（1） 非负性： ；0ijp（2） 正则性： .1ijij分析：求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率.数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 例 3.1.2：从 中任取一个数记为 ，再从 中任取一数记为 ，求 的联合分布列1,234X1, Y(,)X及.()PXY解: 为二维随机变量,其中 的分布列为： (), 12,34Pii的可能值也是 ，若记 为 的取值，则1,234jY（1）当 时， ；ji(,)(0i（2）当 时，,)(|)PXjXiYji14i
8、由此可以算得事件 的概率为：Y1234125() 0.8864PXY3.1.4 联合密度函数定义 3.1.4：如果存在二元非负函数 ，使得二维随机变量 的分布函数 可表示为(,)pxy(,)XY(,)Fxy(,),Fuvd则称 为二维连续随机变量，称 为 的联合密度函数.(,)XY(,)XY注：在偏导数存在的点上，有 .2,pxyFxy联合密度函数的基本性质（1）非负性 (,)0;uv（2）正则性 ,1.p注：给出联合密度函数 ，就可以求有关事件的概率了.若 为平面上的一个可积区域，则事件()xyG(,)XYG的概率可表示为在 G上对密度函数 (,)pxy的二重 积分,(,)PXYxyd在具体
9、使用上式运算时时，要注意代入后的新积分范围是 的非零区域与 的交集部分，然(,)xy后设法化二重积分为二次累次积分，最后计算出结果.例 3.1.3：设 的联合密度函数为 (,)XY236, 0;(,).xyepxy其 他试求：（1） ； （2） .1)P， PXY数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 解：（1） (1,)PXYpxyd12306e1xy23()e0.4（2） 230()6xyPXYedx(1)x250|e43.1.5 常用多维分布一、多项分布（多项分布是重要的多维离散分布，它是二项分布的推广）进行 次独立重复的试验，如果每次试验有 个可能结果： 且每次试验中事件 发
10、生nr12,rA iA的概率均为 ，设 为 次独立重复的试验中事件 出12() ,2; )iipPArppiXni现的次数 ，则 维随机变量 取值为 时的概率，即 出现1,2r (,rX12(,)r 1n次， 出现 次， 出现 次的概率为2nrrn.1212 1212!(,) , ()rnnr rrXp这个联合分布列称为 项分布，又称为多项分布，记为 这个概率是多项式r 12(,).rMp的展开式中的一项，故其和为 112( )npp特别低，当 时，为二项分布.例 3.1.4：一批产品共有 100 件，其中一等品 60 件，二等品 30 件，三等品 10 件.从这批产品中有放回地任取 3 件，
11、以 和 分别表示取出的 3 件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量 的联XY (,)XY合分布列.解： 和 的可能取值都是 ，令0,12(,) (,01,23)ijpPXiYji（1） 时，有 ，即 ；3ijij132313p（2） 时，事件 表示：取出的 3 件产品中有 件一等品、 件二等品、,XYj ij3ij数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对 ，有3ij361(,)()() 100ijijijpPXiYjj33iijjijC3!61()()(0ijijijij此例中 的分布又叫三项分布，它是一种特殊的多项分布.(,)XY二、多维
12、超几何分布多维超几何分布的描述：袋中有 只球，其中有 只 号球， .记 ，Ni 1,2ir12rNN从中任意取出 只，若记 为取出的 只球中 号球的个数 ，则niXn().121212(,) rrnnNr CPXn 12()rn例 3.1.5：一批产品共有 100 件，其中一等品 60 件，二等品 30 件，三等品 10 件.从这批产品中不放回地任取 3 件，以 和 分别表示取出的 3 件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量 的联Y (,)XY合分布列.解：令 (,) (,01,23)ijpPXiji（1） 时，有 ，即 ；3ijp231320pp（2） 时，事件 表示：取出的 3 件产
13、品中有 件一等品、 件二等品、ij,Yj ij3ij件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对 ，有ij 3-60160 -(,)1 3ijijij ijijCpPXij此例是超几何分布的推广，称为三维超几何分布，它是一种特殊的多维超几何分布.三、多维均匀分布设 为 中的一个有界区域，其度量（平面上为面积，空间上为体积）为 ，如果多维随机变量DnR DS的联合密度函数为12(,)X数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 1212, (,)(,)0 nDnxDSpx其 他 则称 服从 上的多维均匀分布，记为 .12(,)nX 12(,)(nXUD二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域
14、中随机投点，如果该点坐标 落在 的子,)XY区域 上的概率只与 的面积有关，而与 的位置无关，则GG1 (,)(,)DGPYpxydxdyS的 面 积的 面 积例 3.1.6：设 为平面上以原点为圆心，以 为半径的圆，Dr服从 上的二维均匀分布，其密度函数为(,)XY221, ,0xyrpxyr试求概率 .()2PX解法一 21rxrdy注：221r222 arcsinxxda222arcsinrxxr2211i430.69解法二 （求几何概率）因为 服从 上的二维均匀分布，所以(,)XYD()2SrP阴 影圆 2113446r（ ） 132数学与统计学院 概率统计教研室第 页 共 9 页 四、二元正态分布 如果二维随机变量 的联合密度函数为(,)XY2 2112221 ()()()(,)exp , ,xxypx
