《江苏省无锡市2018届高三上学期期末检测数学试卷-含解析.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省无锡市2018届高三上学期期末检测数学试卷-含解析.doc(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)1. 已知集合,若,则实数_【答案】3【解析】 ,故 2. 若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数_【答案】6【解析】 为纯虚数,故 3. 某高中共有学生2800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为_【答案】47【解析】由已知,高二年级人数为 ,采用分层抽样的方法 ,则抽取高二的人数为 .4. 已知,直线,则直线的概率为_【答案】【解析】由已知 ,若直线 与直线 垂直,
2、则 ,使直线的 ,故直线的概率 5. 根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的的值为_【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算:,;是,,,;是,,,;是,,,;否,输出。6. 直三棱柱中,已知,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_【答案】【解析】是直三棱柱, ,又三棱柱的所有顶点都在同一球面上, 是球的直径, ; , , ;故该球的表面积为 7. 已知变量满足,目标函数的最小值为5,则的值为_【答案】5【解析】如图 为满足条件的可行域,由得,当直线 过点 时 有最小值5,此时 ,解得坐标为 ,代入 得 .【点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:1.
3、在坐标系中作出可行域;2.根据目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;3. 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从面确定最优解;4.求最值:将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则_【答案】【解析】平移后的函数的解析式为 ,此时图像与函数 的图像重合,故, 即 .9. 已知等比数列满足,且,成等差数列,则的最大值为_【答案】1024【解析】由已知得; 当 或 时得最大值 .【点睛】本题有以下几个关键之处:1.利用方程思想求得首项和公比,进而求得通项;2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题;3.本题易错点是忽视 的取
4、值是整数,而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和,且,则四边形的面积为_【答案】19【解析】根据题意画出上图,连接 ,过 作 , , 为 的中点, 为 的中点,又 , ,四边形 为正方形,由圆的方程得到圆心,半径 , 【点睛】本题的关键点有以下:1.利用数形结合法作辅助线构造正方形;2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合,离心率互为倒数,设分别为双曲线的左,右焦点,为右支上任意一点,则的最小值为_【答案】8【解析】由已知, , ; 又双曲线与椭圆焦点重合,离心率互为倒数, ,则双曲线 ; 在右支上 ,根据双曲线的定义有 , ,故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关
5、键步骤:1、利用双曲线与椭圆的焦点重合,离心率互为倒数求出曲线方程;2、利用双曲线定义求出;3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中,为的中点,为平面内一点,若,则_【答案】6【解析】13. 已知函数 ,.若存在,使得,则实数的取值范围是_【答案】【解析】当 时, 在 恒成立在 为减函数 ,当 时 ;当 时, .综上,欲使成立需: .【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数,再利用图像的对称原原理将问题转化为,从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由已知可得 ,当 时, 要使得原命题成立需: ;当 时, 要
6、使得原命题成立需:.综上 .二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 如图,是菱形,平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.【答案】(1)见解析;(2)见解析.试题解析:(1)证明:因为平面,所以.因为是菱形,所以,因为所以平面.(2)证明:设,取中点,连结,所以,且.因为,所以且,从而四边形是平行四边形,.因为平面,平面,所以平面,即平面.16. 在中,角的对边分别为,.(1)求的值;(2)若,求的周长.【答案】(1).(2)15.【解析】试题分析:(1)由三角形内角关系结合两角和与差公式有,所以根据已知条件求出即可求出 . (2)根据正弦
7、定理结合,即可求出 的值,再利用余弦定理,求出 的值.试题解析:(1)因为,所以.在中,因为,所以,因为,所以,所以.(2)根据正弦定理,所以,又,所以,.,.所以的周长为15.17. 如图,点为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,是以为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线,其中为上异于的一点,与平行,设.(1)证明:观光专线的总长度随的增大而减小;(2)已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)利用扇形弧长公式求出 ,利用直角三角形边角关系求出 ,则总
8、长为 ,求出 为减函数,命题得证.(2)设单位成本为 ,则总成本为,求出,求出,分两区间 讨论的单调性,以证明为极小值点.试题解析:(1)由题意,所以,又,所以观光专线的总长度 ,因为当时,所以在上单调递减,即观光专线的总长度随的增大而减小.(2)设翻新道路的单位成本为,则总成本 ,令,得,因为,所以,当时,当时,.所以,当时,最小.答:当时,观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题,在生产、生活中经常遇到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值,但无论采取何种方法都必须在
9、函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为,分别为左,右焦点,分别为左,右顶点,原点到直线的距离为.设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点.(1)求椭圆的方程;(2)若三角形的面积等于四边形的面积,求直线的方程;(3)求过点的圆方程(结果用表示).【答案】(1).(2).(3) .【解析】试题分析:(1)由离心率为,得,利用 两点坐标可得的方程为,由圆心到时直线的距离公式求得,则.(2)设,由 两点的坐标可得直线 的方程,与椭圆的方程联立可得 的坐标( 的横、纵坐标分别是 的高),代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于 的方程求出 ,最后再将代入PA方程即可得所求. (3)所求圆的圆
10、心为 的垂直平分线的交点,利用 三点的坐标即可得的垂直平分线的方程,两个方程联立即可求得圆心的坐标,再代入圆的标准方程即可得所求. 试题解析:(1)因为椭圆的,所以,所以直线的方程为,又到直线的距离为,所以,所以,所以椭圆的方程为.(2)设,直线的方程为,由,整理得,解得:,则点的坐标是,因为三角形的面积等于四边形的面积,所以三角形的面积等于三角形的面积,则,解得.所以直线的方程为.(3)因为,所以的垂直平分线,的垂直平分线为,所以过三点的圆的圆心为,则过三点的圆方程为 ,即所求圆方程为 .19. 已知数列满足,是数列的前项的和.(1)求数列的通项公式;(2)若,成等差数列,18,成等比数列,
11、求正整数的值;(3)是否存在,使得为数列中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1).(2),.(3)或14.【解析】试题分析:(1)当时,当时,由 列是首项为2,公差为1的等差数列 .(2)建立方程组,或.当 ,当 无正整数解,综上,.(3)假设存在正整数,使得, ,或,(舍去) 或14.试题解析:(1)因为,所以当时,当时,由 和,两式相除可得,即所以,数列是首项为2,公差为1的等差数列.于是,.(2)因为,30,成等差数列,18,成等比数列,所以,于是,或.当时,解得,当时,无正整数解,所以,.(3)假设存在满足条件的正整数,使得,则,平方并化简得,则,所
12、以,或,或,解得:,或,或,(舍去),综上所述,或14.20. 已知函数,其中.(1)求过点和函数的图像相切的直线方程;(2)若对任意,有恒成立,求的取值范围;(3)若存在唯一的整数,使得,求的取值范围.【答案】(1),.(2).(3).【解析】试题分析:(1)先设切点为,切线斜率为,再建立切线方程为,将代入方程可得,即,进而求得切线方程为:或.(2)将问题转化为对任意有恒成立,当时,利用导数工具求得,故此时;当时,恒成立,故此时;当时,利用导数工具求得,故此时.综上:.(3)因为,由(2)知,当,原命题等价于存在唯一的整数成立,利用导数工具求得;当,原命题等价于存在唯一的整数成立,利用导数工
13、具求得.综上:.试题解析:(1)设切点为,则切线斜率为,所以切线方程为,因为切线过,所以,化简得,解得.当时,切线方程为,当时,切线方程为.(2)由题意,对任意有恒成立,当时,令,则,令得,故此时.当时,恒成立,故此时.当时,令,故此时.综上:.(3)因为,即,由(2)知,令,则当,存在唯一的整数使得,等价于存在唯一的整数成立,因为最大,所以当时,至少有两个整数成立,所以.当,存在唯一的整数使得,等价于存在唯一的整数成立,因为最小,且,所以当时,至少有两个整数成立,所以当时,没有整数成立,所有.综上:.数学(加试题)说明:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2:矩阵与变换
14、已知矩阵,若矩阵属于特征值的一个特征向量为 ,属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析:先由和求得和求得,从而求得,可得.试题解析:由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得,即;得,由矩阵属于特征值的一个特征向量为,可得 ,即;得,解得.即,22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆的极坐标方程是,且直线与圆相交,求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析:由,得的方程为,求出圆心 半径 ;由的参数方程得 ;与圆相交,则圆心到直线 的距离 ,即可得.试题解析:由,得,所以,即圆的方程为,