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1、 控制系统的阶跃响应一、目的 了解实验仪器，熟悉实验仪器的使用方法， 熟悉典型环节的模拟电路构成，了解电路参数对环节特性的影响。掌握典型节阶跃响应的测量方法，并学会由阶跃响应曲线计算典型环节的传递函数。 通过阶跃响应曲线来研究二阶系统的特征参数阻尼比和无阻尼自然振荡频率Wn对系统动态性能的影响，定量分析和Wn与超调量%和调节时间ts之间的关系。二、原理 EL教学实验面板上连接构成典型环节模型的模拟电路及其应的传递函数 比例环节的模拟电路及其传递函数示于图1-1。 图1-1比例环节的模拟电路 图1-2 惯性环节的模拟电路 惯性环节的模拟电路及其传递函数示于图1-2。 积分环节的模拟电路及其传递函
2、数示于图1-3。 图1-3 积分环节的模拟电路 图1-4 微分环节的模拟电路 微分环节的模拟电路及其传递函数示于图1-4。 比例加微分环节的模拟电路及其传递函数示于图1-5。比例加积分环节的模拟电路及其传递函数示于图1-6。 图1-5 比例加微分环节的模拟电路图 图1-6比例加积分环节的模拟电路 二阶系统的闭环传递函数为： 其中和对系统的动态品质有决定性的影响。二阶系统模拟电路如图1-7所示： 图1-7 二阶系统模拟电路 经计算得对应的系统模型图为图1-8所示：图1-8二阶系统对应的模型图从中可知系统闭环传递函数为 式中： 所以有：， ， 由此式知，改变比值R2/R1，可以改变二阶系统的阻尼比
3、，改变值可以改变无阻尼比自然频率n。 MATLAB中控制系统数学模型的表示方法 多项式模型对线性定常连续系统的传递函数G（s）的表示：在MATLAB中，此系统可以由其分子和分母多项式的系数（按s的降幂排列）所构成的两个向量唯一地确定下来，即： num=bm，bm-1，,b0，den=am，am-1，,a0另外在MATLAB中，可以用函数TF可以生成一个系统多项式传递函数模型，其调用格式为：sys=tf（num，den）例如：若已知系统的传递函数为：在MATLAB命令环境中输入：num=6 12 6 10;den=1 2 3 1 1;sys=tf(num,den) 则显示：Transfer fu
4、nction: 6 s3 + 12 s2 + 6 s + 10-s4 + 2 s3 + 3 s2 + s + 1若再输入： printsys(num,den) 则有显示： num/den = 6 s3 + 12 s2 + 6 s + 10 - s4 + 2 s3 + 3 s2 + s + 1说明：num，den语句后的分号“；”是MATLAB语句的换行号（相当于Enter）；函数printsys（）用于构造并显示传递函数G（s）的多项式模型。显示变量num/den为通用的的输出显示格式，与输入变量名称无关。所给传递函数若为因式相乘形式，则需要利用MATLAB中的多项式乘法运算函数conv（），
5、其调用方式为：c= conv（多项式1，多项式2），c为两多项式之积。例如：若给定系统的传递函数为：G（s）=18（s+1）/（s+5）（s+25）（s+0.4），则分子分母多项式可分别表示为：num=18*1,1; den=conv(conv(1 5,1 25),1 0.4);其中函数conv（）用于计算多项式乘积，输出结果为多项式系统的降幂排列。 函数num，den=feedback（num1，den1，num2，den2，X）用于计算一般反馈系统的闭环传递函数。其中前向传递函数为G（s）=num1/den1，反馈传递函数为H（s）=num2/den2。右变量为G（s）和H（s）的参数，左
6、变量返回系统的闭环参数，X=1为正反馈，X=-1为负反馈，缺省时作负反馈计。 零极点模型（Zero-Pole，简称ZP） 线性定常连续系统的传递函数G（s）一般可以表示为零点、极点的形式： G（s）=k*（s-z1）（s-z2）（s-zm）/（s-p1）（s-p2）（s-pn）由于m个零点，n个极点及增益k可以唯一地确定一个系统，所以可以用： z=z1，z2，zm；p=p1，p2，pn；k=k0来表示零极点模型。注意：在MATLAB中，多项式模型转换为零极点模型的调用命令为：z，p，k=tf2zp（num，den）；零极点模型转换为多项式模型的调用命令为：num，den=zp2tf（z，p，k
7、）；如果已知二阶系统的两个参数自然振荡频率n和无阻尼系数，则可以通过函数ORD2（）求出此系统传递函数模型和状态方程模型，其分别调用格式为：A，B，C，D=ord2（n，），调用结果返回连续二阶系统状态方程的系数矩阵A，B，C，D的表达式；而NUM，DEN=ord2（n，），调用结果返回连续二阶系统用分子和分母多项式表示的传递函数。注：状态方程是现代控制理论描述系统模型的一种方法。状态方程模型可以表示为：=Ax+Buy=Cx+Du，其中x为状态向量，u为输入向量，y为输出向量，A、B、C、D为系统状态方程系数矩阵。在MATLAB中，可以用函数SS建立一个系统状态方程模型，调用格式为：SYS=s
8、s（A，B，C，D） MATLAB中求控制系统的阶跃响应的函数命令格式 函数格式1：step（num，den）说明1：给定num和den，求系统的阶跃响应。时间向量t的范围自动设定。函数格式2：step（num，den，t）说明2：同说明2，其中时间向量t的范围可以由人工设定（如：t=0：0.1：10）。函数格式3：y，x= step（num，den）说明3：返回变量格式。计算所得的输出y，状态x及时间向量t返回至MATLAB命令窗口，不作图。 上述更详细的命令说明，可在MATLAB窗口键入“help step”在线查阅。 注意：若给定特征多项式系数向量，可以用命令调用格式damp（den）来
9、计算系统的闭环根、阻尼比和无阻尼自然振荡频率Wn。三、实验内容及步骤硬件实现：MATLAB实现：硬件实验对应的MATLAB仿真参考程序： 图1-1至图1-4 对应的典型环节的模拟电路disp( 典型环节及其阶跃响应)pausegridformat,echo on比例环节的模拟电路图num=-2;den=1;step(num,den);title(比例环节（放大环节）);pause惯性环节的模拟电路图num=2;den=0.2 1;step(num,den);title(惯性环节（一阶环节）); pause积分环节的模拟电路图num=1;den=0.1 0;step(num,den);title
10、(积分环节);pause比例加积分环节的模拟电路图num=1 1;den=1 0;step(num,den);title(比例加积分环节); 图1-7对应的二阶系统模拟电路disp(二阶系统阶跃响应);pausegridnum=100; den=1 5 100;step(num,den,-y),hold ontitle(二阶系统阶跃响应)pausenum=100;den=1 10 100;step(num,den,-m)title(二阶系统阶跃响应)pausenum=100;den=1 14 100;step(num,den,-r)title(二阶系统阶跃响应)pausenum=100;den
11、=1 20 100;step(num,den,-g);title(二阶系统阶跃响应);pausenum=100;den=1 40 100;step(num,den,-b);title(二阶系统阶跃响应);hold offpause%disp (首先假设将自然频率固定为n=1，)我们将阻尼比的值分别设置成=0.1,0.2,0.3,1,2,3,5。在这些阻尼比的取值下可使用下面的MATLAB语句得出闭环系统的阶跃响应：wn=1; zetas=0:0.1:1,2,3,5;yy=;t=0:.1:12;for i=1:length(zetas) z=zetas(i); if z=0, y=1-cos(w
12、n*t); elseif z1, lam1=-z-sqrt(z2-1);lam2=-z+sqrt(z2-1); y=1-0.5*wn*(exp(lam1*t)/lam1-exp(lam2*t)/lam2)/sqrt(z2-1); end yy=yy;y;endplot(t,yy) %disp(如果我们将阻尼比的值固定在=0。55，)则可以通过下面的MATLAB语句求出在各个自然频率n下的阶跃响应曲线pausewns=0.1:0.1:1; z=0.55; yy=; t=0:.1:12;for i=1:length(wns) wn=wns(i); %z in (0,1) wd=wn*sqrt(1-z2); th=atan(sqrt(1-z2)/2); y=1-exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+th)/sqrt(1-z2); yy=yy;y;end plot(t,yy)注意：MATLAB仿真过程中，具体参数的获得方法为在相应的曲线上左键点击。MATLAB设计实验： 二阶系统为 在MATLAB命令窗口键入程序（自己依据实验原理编写），观察并记录阶跃响应曲线。在得到上述阶跃响应曲线的基础上，在命令窗口键入damp（den），由此来计算系统的闭环根、阻尼比和无阻尼自然振荡频率Wn，并作记录。在得到上述阶跃响应曲线的
