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1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 1.A解析 1.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1,选A.2. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案 2.D解析 2.设Q(cos ,sin ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|=5,故|PQ|m
2、ax=5+=6.3. (2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2答案 3.A解析 3.解法一:设椭圆方程为+=1(a1b10),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a20,b20),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,+=ab|a|
3、b|=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+=.=,易知-+1的最小值为.故=.故选A.4.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 4.A解析 4.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1e2=,所以=,即=
4、,=.故双曲线的渐近线方程为y=x=x,即xy=0.5. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），9) 已知两定点和, 动点在直线: 上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( ) A. B. C. D. 答案 5. B解析 5. 要使离心率最大，即使最小，即长轴最短. 由数形结合知：当直线与椭圆C相切时长轴最短，就最小. 联立椭圆方程及直线方程得：，由可解得：（舍）或，此时，选B.6. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 答案
5、6.D解析 6. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.7.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点是椭圆的一个短轴端点，如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A B C D 答案 7. B解析 7. 设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭
6、圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( )(A) (B) (C) （D）答案 8. A解析 8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6) 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的
7、双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( ) (A) 2（B）3 （C） （D）答案 9. A解析 9. 依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，由椭圆的定义知，由双曲线的定义知，又，由得，即，故.10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 9) 已知曲线上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲线的一条切线交、轴交于、两点，则的面积的最小值为（ ）A. 4 B. C. 8 D. 2答案 10. D解析 10. 依题意，曲线的方程为椭圆，其方程为，设切线方程为，联立方程组，消去得，由，整理得，即切线方程为，令，则，令，则，当且仅
8、当取等号.故的面积的最小值为2.11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案 11. A解析 11.椭圆：与双曲线有相同的焦点，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.12.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_.答案 12.12解析 12.由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关
9、于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2+,故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12.13. (2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面积为.()求椭圆的标准方程;()设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.答案 13.查看解析解析 13.()设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|=c.从而=|DF1|
10、F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.()如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由()知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1F2P2得-(
11、x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.14. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.()求椭圆C的标准方程;()设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C
12、于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.答案 14.查看解析解析 14.()由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.()(i)由()可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以y1+y2=
13、,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.当且仅当m2+1=,即m=1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).15. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.答案 15.查看解析解析 15.(
14、1)由题意知c=,e=,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,k=,整理得+=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
