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1、 -学 习 改 变 命 运- 相似三角形与三角函数综合应用教 学 内 容智康笔记【知识框架】【精选例题】（一）相似三角形的判定与性质的应用【例1】设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC 证明：PC2AQ 当点F为BC的中点时，试比较PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。【例2】 图 图（1）已知：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DCE=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=
2、30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BDAE的值【例3】如图，ABCD、ADCE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MNPQ2PNBACMNPEFQDG图（二）相似与函数结合：求点的坐标、线段的长度【例4】已知：反比例函数和 在平面直角坐标系第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，ABy轴，与的图象交于点B， AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D. （1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标； （
3、2）若点A的横坐标为m，比较OBC与ABC的面积的大小，并说明理由； （3）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.【例5】如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是 ，b ，c ；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由【例6】如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛
4、物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标（三）相似与动点结合：要注意分类讨论【例7】（2009年中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：；（2）设BM，梯形ABCN的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，求的值【例8】（2009年山西省）如图，已知直线与直线 相
5、交于点，分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合（1）求ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0t12）秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围ADBEOCFxyy（G） 【例9】如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 （1）求的值 （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写
6、出点的坐标；若不存在，请说明理由xyADBOC【课堂练习】1. (2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。 （1）当时，折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由2. （2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不
7、与、重合），过点作，交于点设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？EDBCABCA 3.如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE
8、为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明NMBECDFG图（1）【课后作业】 1. （2009泰安）如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1） 求证：FD2=FBFC。（2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。2. (2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点
9、c(1，6)、点D(3，x)过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F (1) 求m，n的值；(2) 求直线AB的函数解析式；(3) 求证：AECDFB3.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为（1）请你用含的代数式表示（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？4.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长数独游戏4362457349324125683412958736156168
