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1、数学必修4知识小结第一章 三角函数一，任意角与弧度制1，角的定义：一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。逆时针方向旋转为正角，顺时针方向旋转为负角，不作任何旋转形成零角。2，角的象限：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边落在哪一个象限，这个角就称为哪一象限的角。 第一象限的角，第二象限的角，第三象限的角，第四象限的角，3，所有与角终边相同的角的集合：4，弧度制：如果半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么角的弧度数的绝对值是弧度与角度的互化：5，弧长公式： 扇形的面积公式： 其中分别为扇形的圆心角弧度、半径、弧长强化训练：1， 已知角是第二象限角，试确定角，的终边所在
2、的位置2， （1）若角与角的终边关于x轴对称，则与的关系是_（2）若角与角的终边关于原点对称，则与的关系是_3， 如图所示，试分别表示终边落在阴影区域的角4， 若角是第四象限角，则是第_象限角5， 在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_6， 已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角各取多少时，才能使扇形的面积最大？最大面积为多少？二，任意角的三角函数1，三角函数的第一定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点则 ，2，三角函数的第二定义：设是一个任意角，在角的终边上任取一点，令 则 ，3，三角函数线：有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线，余弦线，正切线，
3、合称三角函数线。4，同角三角函数关系平方关系：商数关系：5，与，与的大小关系 角的终边在阴影部分内，则 角的终边在阴影部分外，则角的终边在阴影部分内，则 角的终边在阴影部分外，则强化训练1， 已知角的终边上有一点，分别求的值2， 已知，试判断角所在的象限3， 在内，使成立的的取值范围是_4， 化简：5， 已知，且角为钝角，求的值6， 已知，求的值7， 已知，求下列各式的值1） 2）8，已知，求 1） 2） 3）三，三角函数的诱导公式诱导公式的规律： 奇变偶不变，符号看象限。意思是：的三角函数值可化为角的三角函数值。（当k为奇数时，函数名改变;当k为偶数时，函数名不变。角的函数值前面加上视为锐角
4、时，原函数值在所在象限内的符号。）强化训练：1， 求下列各三角函数的值（1） （2） （3）2，（1）已知，求的值 （2）已知，求的值3，已知，求的值四，三角函数的图像和性质1，正弦函数：的性质）定义域为R，值域为 2）最小正周期为 3）单调性 单调增区间，单调减区间4）奇偶性 奇函数5）对称性 对称轴：直线， 对称中心：点 2，余弦函数：的性质）定义域为R，值域为 2）最小正周期为 3）单调性 单调增区间，单调减区间4）奇偶性 偶函数5）对称性对称轴：直线， 对称中心：点 3，正切函数：的性质）定义域为，值域为 2）最小正周期为 3）单调性 单调增区间，4）奇偶性 奇函数5）对称性对称中心：
5、点 4，三角函数的图像变换三种基本变换：1）周期变换：，纵坐标不变，横坐标变为原来的。2）相位变换：，向左或向右平移个单位。“加左减右”3）振幅变换：，横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。，三个参数不同，所以要经过三个基本变换，每一个基本变换改变一个参数。变换的步骤一般是先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换。5，已知三角函数图像求三角函数，解析式由最大（最小）值求出，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出。（注意，取零点时要注意是第一零点还是第二零点。）相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为半个周期；相邻的两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中
6、心的间距为四分之一个周期强化训练：1，函数的周期，振幅，初相分别是_,_,_2，函数的图象的一条对称轴方程是（ ）A B. C. D. 3，要得到函数y=sin(2x-)的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位4，若函数的定义域为，则值域是（ ）A. B. C. D.5，函数的单调递增区间是_6，函数的定义域为_7，如图是函数的图象的一部分。则函数的解析式是_ 8，函数由y=sinx（xR）的图象怎样变换得到的？第二章 平面向量一，向量的基本概念1，向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向
7、量的表示：1）字母表示：，2）几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3，向量的基本概念1） 模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作2） 零向量：长度为0的向量3） 单位向量：长度为1的向量4） 共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作。5） 相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。6） 相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。强化训练1，下列说法正确的是（ ）（A）长度相等的向量就是相等向量 （B）共线向量就是在一条直线上的向量（C）零向量的长度是0 （D）方向相同或相反的向量是平行向量2，如图，三角形ABC的三边均不相等，E，
8、F，D分别为AC，AB，BC的中点1）写出与共线的向量 2）写出所有与模相等的向量二，平面的线性运算1， 向量的加法1）加法法则CABC（1）平行四边形法则：共起点 （2）三角形法则：首尾相连DBA 2）相关结论（1） （2） （3）ABC2，向量的减法减法法则 三角形法则：共起点。 3，数乘运算1）定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做。长度与方向规定如下：（1） （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反2）相关结论：（1） （2） （3）（4）3）向量共线定理：为非零向量，则（为唯一确定的实数）4）三点共线问题：若A、B、C三点共线推论：若，则A、
9、B、C三点共线强化训练：1，在平行四边形ABCD中则下列运算正确的是 ( ) 2， 化简下列各式，结果为零向量的个数为_个1） 2） 3） 4） 3，如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别为E，F，且，试用表示4，设P是三角形ABC所在平面内的一点，则（ ）5，在三角形ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则6，已知两非零向量，设，判断A，B，C的位置关系三，平面向量基本定理及坐标表示1，平面向量基本定理1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使 2）基底：不共线的两个向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。两
10、个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3）向量共线定理的推论：若，则（交叉相乘，积相等）4）向量的夹角：作，则叫做向量与的夹角。显然，当时，同向；当时，反向，当时，称，垂直，记作。2，平面向量的正交分解及坐标表示1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐标表示：取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，则。我们将有序数对叫做向量的坐标，记作。3）向量的坐标运算若，则，4）向量平行的坐标表示若，则强化训练1，设为两个不共线的向量,与共线，则2，在三角形ABC中，设，点在线段上，且，则把
11、用表示为 。3， ABCD的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是_4，已知ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是： （ ）A、P在ABC内部 B、P在ABC外部C、P在直线AB上 D、P在ABC的AC边的一个三等分点上5，两点P(4,-9),Q(-2,3),y轴与直线PQ交于M且则为_6, 如图，直线经过ABC的重心G，分别与AB，AC交于两点，设，则7，如图，ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，试用表示8，若向量，当与平行时，则=_9，如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，DC的中点，G为BF，DE
12、的交点，若，试以表示四，平面向量的数量积1，数量积的定义：两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积，记作，其中是向量，的夹角。特别地，我们把叫做在方向上的投影。2，数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。3，运算律：1） 2） 3） 4，相关结论：1） 2） 3） 4）5） 6）5，数量积的坐标表示：若，则6，坐标运算的相关结论1）若，则2）若，则3）7，向量与三角形的“四心” 已知点P是三角形所在平面内的一点，1）若，则点P是三角形ABC的重心；2）若，则点P是三角形ABC的垂心；3）若，则点P是三角形ABC的外心；4）令若，则点P是三角形ABC的内心。强化训练1，若等边三角形ABC的边长是，平面内一点M满足，则。2，若_3，则向量在向量方向上的投影为_4，若向量， 当与垂直时，求.5，已知，求及的夹角的余弦。6，已知，,(1)求的值； （2）求的夹角； （3）求的值7，设、是两个不共线的单位向量， ，那么实数x为何值时的值最小？第三章 三角恒等变换一，两角和与差的公式和角公式：差角公式：辅助角公式： （）二
