《【2017年整理】费马定理在等差数列关系下的类半圆结构,及二元二次换元式的还原性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】费马定理在等差数列关系下的类半圆结构,及二元二次换元式的还原性（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、费马定理与等差数列的关联，及二元二次换元式的还原性本篇讲述的主要是费马定理与正整数等差数列之间的关系，以及如何运用这种等差关系，来建立一个等价的二元二次方程，最后通过数值分析的方法来解释费马定理。我个人认为本篇最有价值的地方在于构建了一个全新的数学模式，并不是对不定方程 x +y -z 0 做个形式上的变换，而是利用数的特征来构模，与其他tt的方法相比思路是完全不同的。在整个论述的过程中，并没有假设命题的成立或者是不成立。而是将两种因素都考虑在了其中，在极力找到命题成立的依据的同时，也不排除命题不成立的可能，因此整个证明过程都保证了较高的客观性。本文的结构大致为， 第一构建数模第二得出 x +
2、y -z 的换元式，tt第三 x +y -z 的等价命题及证明tt第四换元式的还愿性（包括还愿性的定义，还原性的证明，还愿性存在的有原因，还原性的适用范围，还原性的使用条件）第五 x +y -z 0 的证明tt值得注意的是：（1）换元式及换元式的还原性的适用范围为 X +Y -Z1t2tt其中 X Y Z,互素且都为正整数，YXZ, 3t t t 或123t t t。换句话来说，不定方程 X +Y Z ，也是成立的。而费马定理的21 1t2tt完整表述应该为 X +Y Z ，即一个正整数的 t 次方不等于另外两个正整数的小于1t2tt或等于 t 次方之和。3t,另外两个正整数的指数 3t t
3、或 3t t 。1221（2）需要强调的是换元式及换元式的还原性的适用范围不包括二次方，具体原因，在下面文章中会有解释。第一节平方数的特征及运用即数模的构建相信除了勾股定理，平方数还有其他很多的特征。下面的一个特征，相信很多人都知道。比如 5 很多人想到的都是勾三股四，也就是一个直角三角形的2三边。但还有一个规律，在命题的转换以及证明中都发挥了关键的作用：那就是 5 =1+2+3+4+5+4+3+2+1，6 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1,2 2X =1+2+3+4+X+.4+3+2+1.除此之外，还可以给这一特征建立一个同样很有规律的线段图。及以一个单位长度表示 1。做底边长为
4、 2X 的一个等腰直角三角形。然后将底边进行 2X 等分，通过个等分点，做垂直于底边的直线。各直线与两腰相交，等分点到交点的各垂线段之和等于 1+2+3+4+.X+4+3+2+1,也就是刚好为 x 。2这样我们就得到了一个有关于 X 的数模。到这里会产生这样的疑问， X2Y Z ，都存在类似的数模，那么这样的数模到底有什么样的作用。ttt虽说 X Y Z 也存在类似的数模，但和平方数相比，在内容上和形状ttt山个都发生了改变。首先一点不能再做成一个等腰直角三角形的形状（这是由正整数的平方数的特征所决定的） 。那么什么样的形状更适合于一个正整数的大于等于 3次方的数模呢？我选择的是类半圆曲线。如
5、上因为 X =1+2+3+4+X+.4+3+2+1，X =X X2 t2t所以 X =1 X +2 X +3 X +4 X +X X +.4 X +3 X +2 tt2t2t2t 2t2tX +1 X 。2t2tX 的数模可以表示为：以一个单位长度表示 1，以 2X 的长度为一条弦，t通过这条弦做一个近似于半圆的曲线。然后将这条弦进行 2X 等分，通过个等分点做与曲线相交的垂线段。从左至右，各线段分别表示为 1 X ，2 X ，3 X ，4 t2t2tX ， X X ，.4 X ，3 X ，2 X ，1 X 。2t 2t 2tt2t2t如图所示同理：Y Z 分别可以表示为下面的两个数模。tt居
6、然求证的是 X ，Y ，Z 之间的和差关系，所以把三个数模给予整合，ttt在取同一单位的情况下（即以同样长的一个单位长度来表示 1） ，将 Y 的t数模平齐的放在 Z 数模的左端，X 数模也是平齐的放在 Z 数模的右端。三条弦在t t t同一直线上。各半圆，及半圆内的各线段重合相交。除去共有的部分。 于是：X +Y -Z 就等价于图中 A 所截取的线段之和，减去 B 所截取的ttt线段之和。 第二节不定方程的换元不定方程 X +Y -Z 的换元，辅助线，辅助点，辅助区的引入。tt以上图为基础，根据等差线段的特征，以及求证的需要划定 a b c d e f g七个区，划定的各个区内所包含的线段都
7、满足等差数列特征。e 为辅助区，g 为含有辅助区 e 的一个区。其它 a b c d f 各区为上图中阴影部分中的实区。其中 a 为弧线 A A 和线段 A A A A 区域所截得的所有是线段之121323和；b 为弧线 B B 和线段 B B B B 区域所截得的所有是线段之和231312c 为弧线 C C C C 和线段 C C 区域内所截得的所有实线段之和；1d 为弧线 D D D D 和线段 D D 所围成的区域内所截得的线段之和2313f 为弧线 F F F C C 和线段 F C 所围成的区域内截得的所有的线段1122之和g 为弧线 G G G D D 辅助弧线 G E 和线段 E
8、 D 围成区域内所截1212221得的所有线段与辅助区 e 内所包含的所有辅助线段之和 ,e 包含在 g 中e 为辅助区，由弧线 G E 和辅助弧线 G E 以及辅助线段 E E 所围成21212的区域，其所包含的值为延长后的实线段在该区内所截得的线段总长之和。该区位辅助区，故该区内组成值的线段也为辅助线段关于辅助线，辅助区的说明。G E 为辅助曲线它的作用是使原本不符合等差计算的区域（或区域内2不含等差线段） 。通过增设 e 区，和原来弧线 G G E 和弧线 G D D 所含线段组合1212后 ，形成有规律的 g 区。原来的值等于 g-e弧线 C C 和弧线 D D 也同为辅助线，它们的作
9、用是划分，将一个不1212符合等差线段排列的区域，划分为两个符合等差线段排列的区域。弧线 C C 的作用12是将现有弧线 F F 弧线 F C C 所围的区域划分为 c 和 f；弧线 D D 是将由弧线 G1213 12G E 和弧线 G D D (包含辅助区 e 在内)所围得的区域划分为 d 和 g,d 和 g 同时12符合等差线段排列特质。换元未知数 n 和 m1 虚线 L 与实线段 F A E B ，虚线为辅助线，实线段为 X ，Y ，Z231 tt半圆等差线段群中的一个完整线段，或者是一个部分。tL 为经过 X 半圆曲线与 Y 半圆曲线的交点且平行于各实线段（或垂直t t于各弦）的一条
10、辅助虚线。线段 F A E B 为 Z 半圆分析图中的两条是线段，虚线 L 在这两条线231t段的中间，两条线段的距离为一个单位长，或者是“1”未知数 n 和 m 的引入未知数 n 的实际含义为线段 A A 的长度，m 的实际含义为线段 B B12 1的长度，2n 与 m 的大小，以及比例关系，恰好反映了 X ，Y ，Z ，之间的比例ttt大小关系，更重要的一点所设的七个区的值，亦可以表示为与 n m 相关的几组代数式。因为 X +Y -Z 等价于上图中 A 中所含的是线段的值，减去 B 区中所tt包含的所有是线段的总长，又因为 A 区中的的值等于 a+b;B 区中的值等于 c+d-e+f+g
11、。故可以把 X +Y -Z 换元为与 n m 相关的一组代数式。亦可以假设 n 和 m 使tt这租代数式的值为 0，然后求出 n m.若 n m 的值符合 X ，Y ，Z 半圆曲线图的特ttt征，或能反映出 X +Y -Z =0 的组合要求。那么所提出的命题 X +Y Z ，就为错tt tt误，相反，即为正确。七个区 a b d e f g 与 n m 相关代数式根据前面所设，以及一个正整数大于大于 3 次方的等差数列组合特征，所设七个区中每个区所含的各个线段长度均符合，等差数列特征。其中 a= , b=2)1(xt2)1(ytc=y (y-m)(y-m-1) d=x (x-n)(x-n-1)
12、t te=z (1+m-2y+z)(m-2y+z) f=2t 2)1)(2 myyzttg= )12)(2nxxztt设 n m 使 a+b-c-d-f-g+e=0,方程两边同时乘以 2，化去含有分数的项2a = x (1+n)n 2b =y (1+m)m2t 2t= x (n +n) = y (m +m)= n x + n x = m y + m yt12t t2t2c=2 y (y-m)(y-m-1)2t=2 y (y -my-y-my+ m +m)2=2y -4m y -2 y +2 m y +2m yt1ttt2t2d= 2x (x-n)(x-n-1)2t=2x (x -nx -x-
13、nx +n +n)2=2x - 4n x -2x +2 n x +2n xt1ttt2t2f=(z -y )(2y-m)(2y-m-1)2tt=(z -y ) (4y -4my+m -2y+m)22=4y z -4my z + m z -2y z +m z -4 y +4my - m y +2 y -m ttt2t2tt1t2t1ty 2t2g=( z - x )(2x-n)(2x-n-1)2tt=( z - x )(4x-4n+n-2x+n)=4x z -4n z + n z -2x z +n z -4x +4nx - n x +2 x -n xt2t2t2ttt1t2t1t2t2e= z
14、(1+m-2y+z)(m-2y+z) 2t= z (m-2y+z+ m -4my+2mz+4y -4yz+z )222=2m z -4y z +2z +2 m z -8my z +4m z +8y z -8y z +2ztt1ttt1t2t1tt合并各代数式化简得出换元方程n x + nx + m y + m y -2y +4m y +2 y -2m y -2m y -2t2t2t2tt1t1t2t2t2x +4n x +2x -2 n x -2n x -4y z +4my z - m z +2y z -m z +4 y -t1tttttttttt4my +m y -2y +my -4x z
15、+4nxz - n z +2xz -n z +4x +4nx + n xt2t1tt2t2t2t2ttt1t2-2 x +n x +2m z -4y z +2z +2 m z -8my z +4m z +8y z -8y z +2z2t1tt2tt1ttt1t2tt=0t方程两边同时乘以-1，化简整理后得：- m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 2t2t1t2t2t2t2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z =02t1ttttttt上述的这个关于 n m 的二元二次方程就是一个关于 X +Y -Z 值的换元tt方程。因为 n m 的值的大小取决于 X ，Y ，Z 半圆曲线分析图相互间的大小以及比ttt例关系，也就是 X ，Y ，Z 相互间的比例以及大小关系。故通过分析 n m 可以侧面ttt反映出 X ，Y ，Z 间的大小以及比例关系，而 X +Y -Z 的值就取绝于 X ，Y ，Zttt tt tt间的大小以及比例关系。故通过分析 n m 在逻辑上可以判断 X +Y -Z 的值。t tt第四 x +y -z 的等价命题及证明tt命题（1）：X +Y -Z =0 等价于tt方程：-m z
