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1、高宏模型推导高宏模型推导 1. 索罗模型索罗模型_Solow Model 1.1 基本假设基本假设 生产函数：?,YF K AL?，一次其次； L n L ?， A g A ?；KsYK?。 1.2 ? ? A ksf kk ng? 生产函数转化：令 Y y AL ?， K k AL ? ?yf k? ? ? ? ? 22 K ALALAL KsYKALALAL K k ALAL ? ? ? ? A ksf kk ng? 1.3 k的的收敛速度收敛速度 方法： ? ? ? * * k k k k kkk k ? ? ? ? ，其中? ? ? A k ksf kk ng? ? ? ? * * A
2、 k k k k kkksfkngkk k ? ? ? ? ? ? ? 收敛速度：? ? * * A k ngsfk kk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * * 11 K A sfk ng AAK A sfk ngng ng ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.4 产出储蓄率弹性产出储蓄率弹性&黄金资本存量黄金资本存量 均衡时0k ? ? * A sf kkng? ? ? * A ngsfkdkf kds? ? ? ? ? ? * * * A f k k sngsfk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * * * * *
3、 * 1 1 A A sfk ng K sfk K ng fkdksfkdyssdk ds ydsds f kf k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * A cf kkng? ? * * A ck fkng ss ? ? ? ? ? ? 黄金资本存量： ? * GRA fkng? 2. RCK 模型模型_Ramsey-Cass-Koopmans Model 2.1 欧拉方程欧拉方程 步骤一：步骤一： 令 C c L ?， Y y L ?， K k L ? 总效用函数：? ? 0 ntt t Uu c e edt ? ? ? ? 预算约束条件：? ? ? ? ? ?
4、? ?k tw tr t k tc tnk t? 均衡时? ?0k t ? ? ? ? ? ? ?0w tr t k tc tnk t? 建立汉密尔顿方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ntt t H tu c e etw tr t k tc tnk t ? ? ? ? ? 实现消费者一生效用最大的充要条件是： ? ? ? ? 0 H t c t ? ? ? ? ? ?0 ntt t u c e et ? ? ? ? ? ? ? ? ? dtH t dtk t ? ? ? ? ? ? ? ?ttr tn? ? ? ? ? ? ntt t u c e et ? ? ? ?两边对时间求导
5、得： ? ? ? ? ? ? ? ? ntnt ttt cuc enu c et ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ntntntt tttt cuc enu c eu c e er tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t ttt u cr t c cuc c ? ? ? ? 令? ? 1 1 1 t t c u c ? ? ? ? ? ? ? ? tt u cc ? ?， ? ? 1 tt ucc ? ? ? ? ? ? ? ? t t r tc c ? ? ? ? 步骤二：步骤二： 令 C c AL ? Y y AL ?， K k AL ? c c A ?
6、 ? ? ? ? 2 1 AA r tccAcAAcc gr tg AAccA ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 AA c r tgfkg c ? ? ? ? 【厂商行为】 厂商利润函数：? ?f kwrkk?， 利润最大化条件：? ?0 d fkr dk ? ? ? ?rfk? 均衡时，0? ? ? ?wf krkkf kfk k? 2.2 0c ?和和0k ?曲线曲线 0c ?曲线 由? ? 1 A c fkg c ? ? ? ? ? * A fkg? 0k ? 由? ? ? ? ? ? ? A k tf kc tngk t? ? ? * A cf kngk? 2.3 均衡时的均衡
7、时的 * k 均衡时 * k满足：? * A fkg?， 而黄金资本存量 * GR k满足：? * GRA fkng?， 需要证明 * GR kk?（动 态有效） ，即证： AA ngg?，即?10 A gn?。 利用 1 0 1 1 ntt t c Ue edt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有界来证明。 ? ? ? ? 1 1 0 00 11 1 00 1 1 11 111111 111111 gt nttntt t gnn c e c Ue edte edt cc ee gnngnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有界要
8、求?10gn?，0n?，所以 AA ngg?得证， * GR kk?得证。 2.4 均衡时的储蓄率均衡时的储蓄率 * s ? ?yf kk? ? 1 y fkk k ? ? ? ? ? ? ? ? ?kfk f k ? ? ? ? ? ? ? * * * A A f kc ng sf kc gf kk fk ? ? ? ? ? ? 2.5 k和和c的的收敛速度收敛速度 将? ? ? A k tf kcngk? ?在 * kk?、 * cc?处一阶泰勒展开： ? ? ? ? ? * * * , 1 A k kk k c cc c k k ck k c kkkccngkkcc kc ? ? ? ?
9、 ? ? ? 将? ? 1 A cfkgc? ? ? ? 在 * kk?、 * cc?处一阶泰勒展开： ? ? ? ? * * * * , k kk k c cc c c k cc k cc ckkccfkkk kc? ? ? ? ? 写成矩阵形式： ? ? * * kk k B c cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，其中 ? ? * * 11 0 A ng B c fk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * * * * kk cc fk cccc? ? ? ? ， ? ? ? ? * * 1 A cc k ng kkkk ? ? ? ? ? 令 ?
10、 * c cc ? ? ? ? ? * * * * 1 cc c fk kk? ? ? ? 均衡时， ? * ck cckk ? ? ? ? * * 1 1 A c ngfk? ? ? ? ? ? * 2* 10 A c ngfk? ? ? ? ? ? * 2 * 114 2 AA c ngngfk? ? ? ? ? ? 由于0? ? * 2 * 114 2 AA c ngngfk? ? ? ? ? ? 3. 劳动力驱动科技进步劳动力驱动科技进步_Romer Model 3.1 基本假设基本假设 消费者总效用函数： ? ? 1 0 1 1 t C t edt ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、 ； 预算约束条件：CKY?； 最终消费品生产函数：? ? 1 0 A Y Yk idi H ? ? ? ? ； 科技进步： A AAH?；总人口： AY HHH?，人口增长率为 0。 3.2 最终消费品生产厂商（求出最终消费品生产厂商（求出? ?k i的价格的价格-需求函数）需求函数） 令最终消费品价格为 1。 ? ? ? ? ? ? 1 1 Y Y iHk i k i ? ? ? ? ? ? ? ? （? ?i?为? ?k i的价格） 【最终消费品生产厂商利润函数：? ? ? ? ? 1 0 A YYY k ii k i di Hw H ? ? ? ? ? ? 】 3.3 中间品中间品?
12、?k i生产厂商生产厂商（拥有技术的价值拥有技术的价值） 令每单位? ?k i生产成本为 1。 ? ? ? ? ? 1 1 iY k iiHk ik i ? ? ? ? ? ? 利润最大化条件： ? ? ? ? 1 21 10 i Y Hk i k i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 Y k iH ? ? ? ? ? 1 i? ? ? ? ? ? 1 1 11 iY k iiH ? ? ? ? ? ? ? ? 掌握技术的价值： ? ? ? ? ? 1 1 1 t r s ds Y i A t H Ped rr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.4
13、均衡均衡 方法： Y Y Y w H ? ? ? ， HA A A wP H ? ? ? 2 1 0 11 A YY Y Y wk idi HA H ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （均衡时，所有? ?k i相等） ? 1 1 1 Y HAA A HA wPP AA Hr ? ? ? ? ? ? ? ? 均衡时 YH ww? Y rH? 又有 Cr C ? ? ? ?（欧拉方程） ， CAY ggg? C Cr g C ? ? ? ?， AA A gH A ? A rH? YA HH? 又因为 AY HHH?，所以 A H Hg ? ? ? ? ? 【推导欧拉方程】 预算约束条件：? ? ? ? ? ?K tW tr t K tC t?，均衡时? ?0K t ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 . .0 t C t Uedt stW tr t K tC t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 建立汉密尔顿方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 t C t H tetW tr t K tC t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 实现消费者一生效用最大的充要条件是： ? ? ? ? 0 H t C t ? ? ? ? ? ?0 t C tet ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 tt
