《第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数).doc（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2 量的表示方法有: 、等等。3 向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经
2、过平移后能完全重合的向量）。4 量的模：向量的大小，记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为二、向量的线性运算1加减法： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图742 即3向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为时，与同向，时，时，与反向，其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么定理1：设向量a0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使b例
3、1：在平行四边形ABCD中，设，试用和b表示向量、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图75） 图74解：，于是由于， 于是又由于，于是由于， 于是三、空间直角坐标系1将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图71，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图72所示。图71右手规则演示 图72空间直角坐标系图 图73空间两点的距离图3空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一
4、对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4空间两点间的距离。 若、为空间任意两点， 则的距离（见图73），利用直角三角形勾股定理为：而 所以特殊地：若两点分别为，例1：求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明: 由于 ，原结论成立。例2：设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标。解：因为在轴上，设P点坐标为 所求点为：，四、利用坐标系作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关
5、系。设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图75沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应用向量的加法规则知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐
6、标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设，即，则(1) 加法： 减法： 乘数： 或 平行：若a0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即五、向量的模、方向角、投影设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图76，其余弦表示形式称为方向余弦。1 模2 方向余弦由性质1知，当时，有 任意向量的方向余弦有性质： 与非零向量a同方向的单位向量为：例：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，设为与同向的单
7、位向量，由于即得3 向量在轴上的投影(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4) 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5) 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，
8、记做。2投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业：第二节 数量积向量积教学目的：让学生
9、搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论教学内容：一、数量积：a) 定义：，式中为向量a与b的夹角。b) 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为其中为F与s的夹角。c) 性质：.两个非零向量a与b垂直的充分必要条件为：. . . 为数d) 几个等价公式：.坐标表示式：设，则.投影表示式：.两向量夹角可以由式求解e) 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和
10、B(2,1,2)，求提示：先求出向量及，应用上求夹角的公式。二、向量积：a) 概念：设向量是由向量a与b按下列方式定义：的模，式中为向量a与b的夹角。 的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b) 公式：f) 性质：.两个非零向量a与b平行ab的充分必要条件为：. . . 为数c) 几个等价公式：.坐标表示式：设，则.行列式表示式：d) 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。解：根据向量积的定义，由于2,2,2，1,2,4因此于是小结： 向量的数量积（结果是
11、一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）作业：第三节 平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一、平面的点法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2平面的点法式方程已知平面上的一点和它的一个法线向量，对平面上的任一点，有向量n，即n代入
12、坐标式有：（1）此即平面的点法式方程。例1：求过三点（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面方程。解：先找出这平面的法向量，由点法式方程得平面方程为即：二、 平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：几个平面图形特点：1）D0：通过原点的平面。2）A0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面。同理：B0或C0：分别表示一个平行于轴或轴的平面。3）AB0：方程为，法线向量，方程表示一个平行于面的平面。同理：和分别表示平行于面和面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一个平面，该平面的法向量为例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
13、解：设平面为，由平面过原点知由平面过点知， 所求平面方程为三两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面， 按照两向量夹角余弦公式有：三、几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为和1) 两平面垂直：（法向量垂直）2) 两平面平行：（法向量平行）3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点，平面的方程为 ，则点到平面的距离为例3：研究以下各组里两平面的位置关系：解：(1)，两平面相交，夹角(2) ， 两平面平行两平面平行但不重合。（3）两平面平行所以两平面重合小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业：第四节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程 2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式 2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设
