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1、 立体几何提升训练【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。解：（1）证明：因为是的中点， 所以。 由底面，得， 又，即， 平面，所以 ， 平面， 。（2）连结， 因为平面，即平面，所以是与平面所成的角， 在中，在中，故，在中, ，又，故与平面所成的角是。 （3）由分别为的中点，得，且，又，故，由（1）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，在中， 截面的面积。（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（图略）由，得，因为 ，所以。（2）因为 所以，又 ，故平面，即是平面的法向量。设与平面所成的角为，又。
2、则，又，故，即与平面所成的角是。 因此与平面所成的角为，【例2】如图，已知是底面为正方形的长方体，点是上的动点（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面并证明你的结论；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正切值的最大值解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.证明如下：由题意知， 又 平面 又平面 平面平面（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中 , ， 又在中， 异面异面直线与所成角的余弦值为解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，异面异面直线与所成角的余弦值为（3）由（1）知
3、，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，由得，即与平面所成角的正切值的最大值【例3】已知平面，与交于点，（1）取中点，求证:平面。（2）求二面角的余弦值。解法1:(1)联结，AC=AC，为中点，为中点， 平面（2）联结，在等边三角形中,中线，又底面， ， 平面平面。过作于，则平面，取中点，联结、，则等腰三角形中，平面，是二面角的平面角等腰直角三角形中，等边三角形中，Rt中，. 二面角的余弦值为。 解法2：以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，是等边三角形，且是中点，则、（1） ，平面（2）设平面的法向量分别为，.则的夹角的补角就是二面角的平面角；，由及得，二面角的余弦值
4、为。【例4】如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。 （I）求证：AF/平面BCE； （II）求证：平面BCE平面CDE； （III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且FP= 又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP， ABPF为平行四边形，AF/BP。又AF平面BCE，BP平面BCE， AF/平面BCE。 （II）ACD为正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面C
5、DE。 又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45。【例5】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点（）证明：CD平面BEF；（）设，求k的值.解：（）证明： PA平面ABCD，ADCD. CD平面BEF （）连结AC且交BF于H，可知H
6、是AC中点，连结EH,由E是PC中点,得EHPA, PA平面ABCD. 得EH平面ABCD，且EH. 作HMBD于M，连结EM，由三垂线定理可得EMBD.故EMH为二面角EBDF的平面角，故EMH=600. RtHBMRtDBF, 故. 得, 得 .在RtEHM中， 得 解法2：（）证明，以A为原点，建立如图空间直角坐标系.则，设PA = k,则, 得有 () . 设平面BDE的一个法向量，则 得 取由 得【例6】如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点， (1)设侧面ABC与底面BCD所成角为，求tan. (2)设CE与底面BCD所成角为，求cos. (3)在直线BC上是否存
7、在着点F，使直线AF与CE所成角为90，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连AF、DF，由ABC及BDC是正三角形，F为BC中点，得AFBC，DFBC，AF=DF AFD为二面角A-BC-D的平面角 设棱长为a，在ABC中，AF=，DF= 在AFD中， (2)法一：BC面ADF，BC面BCD AEBCDyOxz面ADF面BCD在面ADF中，过E作EGDF，则EG面BCD，连CG，则ECG=又AF=DF，E为AD中点，故EFAD在RtDEF中，EF=DE=，由得在RtCEG中， 法二：设AO面BCD于O，则O为等边三角形，BCD为中心，设BC中点为M，CD中点为N，以O
8、为坐标原点，OM所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系0-xyz，设棱长为2a，则0(0,0,0)，A(0,0，a),C(a,a,0),D(-a,0,0)，E(-a,0,a) 0,0，a，(-a,-a,a)cos=CE与面BCD所成角的余弦值为cos= sin=(3)法一：设F(a,y,0)，则 又 ，y=-2a F(a,-2a,0),即F在CB处长线上，且FB=BC 法二：设，B、C、F三点共线， 又 F在CB延长线上，且FB=BC【例7】如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,若、分别为线段、的中点(1) 求证：直线/ 平面；(2) 求证：平面平
9、面； (3) 求二面角的正切值.(1)证明：连结，在中/且平面，平面(2)证明：因为面面平面面所以，平面 又，所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面面面(3)解：设的中点为,连结,则由()知面,面是二面角的平面角中，故所求二面角的正切为 另解：如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, ,而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,.为的中点, .（1）易知平面的法向量为而,且, /平面.(2), ,从而,又,而, 平面平面(3)由(2)知平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.【例8】如图,在梯形中,
10、。MFECDBA,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.。(1)求证:平面;。(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.（）在梯形中，四边形是等腰梯形，且 2分又平面平面，交线为，平面 4分（）解法一、当时，平面， 5分在梯形中，设，连接，则 6分，而， 7分，四边形是平行四边形， 8分又平面，平面平面 9分解法二：当时，平面，由（）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分xDyzCOFBAE则，平面，平面与、共面，也等价于存在实数、，使， 设.，又，从而要使得：成立，需，解得 当时，平面（）解法一、取中点，中点，连结，平面又，又，是二面角的平面角
11、.在中,. 又.在中，由余弦定理得, xDyzCOFBAE即二面角的平面角的余弦值为.解法二:由()知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,，过作,垂足为. 令, 由得,即 ,二面角的大小就是向量与向量所夹的角. 即二面角的平面角的余弦值为. 【例9】ABDCEF如图，已知中，平面，、分别是、上的动点，且（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。解法一：（向量法）：ABDCEFMNxyz过点作 平面平面 又在中，如图，以为原点，建立空间直角坐标系又在中， 又在中， 则 （1）证明： 又 平面 又在中，、分别是、上的动点， 且不论为何
12、值，都有 平面 又平面不论为何值，总有平面平面（2），,，又， ，设是平面的法向量，则 又，,=(0,1,0), 令得 ， 是平面的法向量，平面与平面所成的二面角为， ，或（不合题意，舍去），故当平面与平面所成的二面角的大小为时解法二：， , 设E（a,b,c）,则，a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,)。 其余同解法一（2）解法三：设是平面的法向量，则， 又在中， 又在中， 又，且 又 令得 其余同解法一【例10】如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O为AB的中点（I）当时，求证：OC/平面DEF；（II）当时，求平面DEF与平面A
