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1、知识点整理 (一)平行与垂直的判断(1)平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，平面线线平行；线面平行；面面平行(2)垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则线线垂直；线面垂直；面面垂直(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则两直线,所成的角为(),；直线与平面所成的角为(),；二面角l 的大小为(),(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, 点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中
2、则点P到平面的距离 (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) 异面直线间的距离: (的公垂向量为,分别是上任一点).ABCDabl题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1如图，已知二面角a-l -b的大小为1200，点Aa，Bb，ACl 于点C，BDl 于点D，且AC=CD=DB=1.求：（1）A、B两点间的距离；（2）求异面直线AB和CD的所成的角（3）AB与CD的距离.解：设则（1）， A、B两点间的距离为2.（2）异面直线AB和CD的所成的角为600（3）设与AB、CD都垂直的非零向量为，由得；由得，令x=1，则由、可得z=-1，由法则四可知，AB与CD的距离为.小结：任何非正交基
3、底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB/平面PEF 可以将有基底表示， 也用基底表示，最后用待定系数法，将和求出。例2。如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1。另一个侧面ABC是正三角形. （1）求证：ADBC； （2）求二面角BACD的大小；（3）在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.20解法一： （1）方法一：作AH面BCD于H连DH.ABBDHBBD，AD=，BD=1AB=BC=AC BDDC又BD=CD，则BHCD是正方形
4、，则DHBC. ADBC，方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AOBC，DOBC.BC面AOD，BCAD（2）作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角BACD的平面角.AB=AC=BC=，M是AC的中点，且MN/CD.则BM=由余弦定理得.（3）设E为所求的点，作EFCH于F，连FD，则EF/AH，EF面BCD，EDF就是ED与面BCD所成的角，则EDF=30，设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=.故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30角.解法二：（1）作AH面BCD于H，连BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH=1，以D为原点
5、，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1）.（2）设平面ABC的法向量为=，同理，可求得平面ACD的一个法向量为.由图可以看出，二面角BACD的大小应等于=，即所求二面角的大小是（3）设E（x，y，z）是线段AC上一点，则平面BCD的一个法向量为要使ED与面BCD成30角，由图可知的夹角为60，题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值解法一:（）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因，故；又
6、平面，由三垂线定理可知，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: （）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ，面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即 解得,知G点在面上,故G点在FD上.,故有 联立,解得, . 为直线AB到面的距离. 而
7、所以（）因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以 例3、如图,四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，图4侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，AB2，BC=2，SASB.(1)证明：SABC；(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小. 求异面直线DC、SA的距离.解: (1)作于E点,则 又BC=2 ,即E点是BC的中点. 又 , 即SE是BC的中垂线.又侧面SBC底面ABCD .(2) 以E为原点,分别以向量的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示. 容易求得SE=1,于是A(,0,0),B(0,0),C(
8、0,-,0),D(,-2,0),S(0,0,1),E(0,0,0). 设平面SAB的法向量, , 令,得.又设直线SD与平面SAB所成的角为,则 .题型三、探索性问题已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分别是AC、AD上的动点，且（）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（）当为何值时，平面BEF平面ACD？21证明：（）AB平面BCD， ABCD，CDBC且ABBC=B， CD平面ABC.3分又不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF,不论为何值恒有平面BEF平面ABC6分（）由（）知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平
9、面ACD，BEAC.8分BC=CD=1，BCD=90，ADB=60，由AB2=AEAC 得故当时，平面BEF平面ACD.12分22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以, 且,所以是二
10、面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。于是 则： 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故 故.题型四：翻折问题（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平
11、面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合
12、，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。1、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。
13、方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 （II）证明：因为（III）由（I）可得， 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 2、在四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BC
