《高中物理竞赛解题方法之递推法例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中物理竞赛解题方法之递推法例题（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例 1：质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t ，加速度变为 2a ；在时刻 2t ，加速度变为 3a ； ；在 nt 时刻，加速度变为(n + 1) a ，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程。解析：根据递
2、推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻 t 末的速度为 vt = at2t 末的速度为 v2t = vt + 2at 即 v2t = at + 2at3t 末的速度为 v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at则 nt 末的速度为 vnt = v(n)t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n)= at (n + 1)n = n (n + 1)at12（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 s = n (n + 1)(2n + 1)at2例 2：小球从高 h0 = 180m 处自
3、由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小 （n = 2） ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。 （g 取 10m/s2）1解析：小球从 h0 高处落地时，速率 v0 = = 60m/s02gh第一次跳起时和又落地时的速率 v1 =第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = 0第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 0每次跳起的高度依次为 h1 = = ，h 2 = = ，2g0ng04n通过的总路程 s = h0 + 2h1 + 2h2 + + 2hm + = h0 + (1 + + + + + )2n214n2m1= h0 + = h0 = h0 = 300m2253
4、经过的总时间为 t = t0 + t1 + t2 + + tm + = + + + + vgvg= 1 + 2 + + 2 ( )m + 0n1n= = =18s0vg03v例 3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v ，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图 61
5、 所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔 t ，在每一个 t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔 t ，正三角形的边长分别为 a1 、a 2 、a 3 、 、a n ，显然当 an0 时三只猎犬相遇。a1 = aAA 1BB 1cos60= a vt32a2 = a1 vt = a2 vt3a3 = a2 vt = a3 vt32an = an vt因为 an vt = 0 ，即 nt = t 32所以：t = v（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。 ）例 4：一列进站后
6、的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在 s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F ，则有：车头起动时，有：(Fmg) s = m12v拉第一节车厢时：(m + m) = mv11故有： = = ( g) s21v421F(F2mg) s = 2m 2m2v121拉第二节车厢时：(m + 2m
7、) = 2mv22故同样可得： = = ( g) s2v4923Fm5推理可得： = ( g) s2n1n1由 0 可得：F mg2nv 3另由题意知 F = 31mg ，得： n46因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢。例 5 有 n 块质量均为 m ，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2 = mgd将第 3 、4 、 、n 块砖依次叠放起来，人克
8、服重力至少所需做的功分别为：W3 = mg2dW4 = mg3dW5 = mg4dWn = mg (n1)d所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n1)dmgd()例 6：如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片 AiBi（ i = 2 、4 、）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量） 。 将质量为 m 的质点置于 A1A6 的中点处，试求：A 1B1 薄片对 A6B6 的压力。解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B1 、A 2B2 、
9、 A5B5 的受力情况完全相同，因此将 A1B1 、A 2B2 、A 5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力 Ni+1。 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有：Ni L = Ni+1 ，得：N i = Ni+1212所以：N 1 = N2 = N3 = = ( )5N6 再以 A6B6 为研究对象，受力情况如图 63 乙所示，A 6B6受到薄片 A5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1 向
10、下的压力 N1 、质点向下的压力 mg 。 选 B6 点为轴，根据力矩平衡有：N1 + mg = N6 L L234由、联立，解得：N 1 = mg42所以，A 1B1 薄片对 A6B6 的压力为 。例 7：用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L ，横截面是边长为 h（ h = ）的正方形，要求此桥具L4有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值。 解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由
11、于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为 1 、2 、 、n ，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为：x 1 = L2第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 x2（如图 64 所示） ，则：G x2 = ( x 2) GL得：x 2 = =4同理可得第 3 块的最大伸出量：x3 = L最后归纳得出：x n = L2所以总跨度：k = 2 = 11.32h9n1x跨度与桥孔高的比值为： = =1.258kH.3h9例 8：如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人的序号都记为 n（n = 1 、2 、3 、 ） 。 每人
12、只有一个沙袋，x0 一侧的每个沙袋质量为 m = 14kg ，x0 一侧的每个沙袋质量 m= 10kg 。一质量为 M = 48kg 的小车以某初速度 v0从原点出发向正 x 轴方向滑行。 不计轨道阻力。 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍。 （n 是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻
13、使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。小车以初速 v0 沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n = 1）人的身旁时，此人将沙袋以u = 2nv0 = 2v0 的水平速度扔到车上，由动量守恒得： Mv0m 2v0 = (M + m)v1 ，当小车运动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度 u= 2nv 1 = 4v1 的水平速度扔到车上，同理有：(M + m)v1m 2nv1 = (M + 2m)v2 ，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为 vn ，根据动量守恒有：M + (n1)m vn1 2n m vn1 = (M +
14、nm)vn ，即：v n = vn1 M()m。同理有：v n+1 = vn(2)若抛上（n + 1）包沙袋后车反向运动，则应有 vn0 ，v n+10即：M(n + 1)m0 ，M(n + 2)m0由此两式解得：n ，n 。因 n 为整数，故取 3 。381420当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁，抛上第 n包沙袋后由动量守恒定律有：M + 3m + (n1)m 2n mv n1 = (M + 3m + nm)n1 nv解得： =nv3()n1同理有： =n12()nv设抛上（n + 1）个沙袋后车速反向，要求 0 ， 0nn1v即： 解得M3m()0n278
15、即抛上第 8 个沙袋后车就停止，所以车上最终有 11 个沙袋。例 9：如图 66 所示，一固定的斜面，倾角 = 45，斜面长 L = 2.00 米。 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。 一质量为 m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数 = 0.20 ，试求此质点从开始到发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程。解析：因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解。设每次开始下滑时，小球距档板为 s ，则由功能关系：mgcos (s1 + s2) = mg (s1s 2)sinmgcos (s2 + s3) = mg (s2s 3)sin即有： = = = =12inco由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为 23在发生第 11 次碰撞过程中的路程：s = s1 + 2s2 + 2s3 + + 2s11 = 2 (s1 + s2 + s3 +
