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1、第5讲 空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点已知点的位置求坐标的方法：过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标2、在轴上的点分别可以表示为，在坐标平面，内的点分别可以表示为;3、点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为；点关于坐标平面的对称点为；点关于坐标平面的对
2、称点为；点关于坐标平面的对称点为；点关于原点的对称点。4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为5空间两点间的距离公式已知空间两点，则两点的距离为 ，特殊地,点到原点的距离为;5以为球心,为半径的球面方程为特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为重难点突破重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点到轴的距离为 解析借助长方体来思考，以点为
3、长方体对角线的两个顶点，点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数，求的最小值解析在空间直角坐标系中，表示空间点到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点之间的线段长，所以的最小值为。3利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线(3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1: 空间直角坐标系题型1: 认识空间直角坐标系例1 （1）在空间直角坐标系中，表示 （ ） A轴上的点 B过轴的平面 C垂直于轴的平面 D平行于轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程表示A在坐
4、标平面中，1，3象限的平分线 B平行于轴的一条直线 C经过轴的一个平面 D平行于轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为1的点的集合 解析（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面 （2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点关于轴的对称点为，点关于
5、平面的对称点为，则的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,又因点和关于平面对称, 所以点坐标为 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为【新题导练】1已知正四棱柱的顶点坐标分别为，则的坐标为 。解析正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴，的坐标为（2，2，5）2平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为 解析由已知
6、得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得，3已知，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则（ ）A B C D解析借助长方体来思考, 、分别是三条面对角线的长度。，选C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题XAYBOZP例3 如图：已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明解析设 ，对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，使得恒成立，则即，解得：所以存在这样的点，当点为时，恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距
7、离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4已知，当两点间距离取得最小值时，的值为 （ ） A19 B C D解析当时，取得最小值5已知球面，与点，则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 。解析球心，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和36已知三点，是否存在实数，使A、B、C共线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解析 ，因为，所以，若三点共线，有或，若，整理得：，此方程无解；若，整理得：，此方程也无解。所以不存在实数，使A、B、C共线。抢分频道基础巩固训练1将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将轴与轴，轴与轴所成的角画成（ ）A B C D解析：选
8、B2. 点在平面上的投影点的坐标是 （ ）A B C D 解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3. 三棱锥中，此三棱锥的体积为（ ）A1 B2 C3 D 6解析 两两垂直，4（2007山东济宁模拟）设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点，则|AB|等于( )A10 B C D38 解析 A点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,5（2007年湛江模拟）点关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为，则= 解析 ，6正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是 解析 不共面，为正方体的一条对角线，正方体的棱长为4，体积为64 综合提高训练7空间直角坐标系
9、中，到坐标平面，的距离分别为2，2，3的点有A.1个 B.2个 C.4个 D.8个解析：8个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8（2007山东昌乐模拟）三角形的三个顶点的坐标为，则的形状为（ ）A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形解析 C9(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）A B C3 D 解析因为点B在平面内的直线上，故可设点B为，所以，所以当时，AB取得最小值，此时点B为。BXACYDZOQP10如图，以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。（1）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，探究的最小值；（2）当点在对角线上运动，点为棱的中点时，探究的最小值； 解析由已知，（1）当点为对角线的中点时，点坐标为，设，则，当时，取到最小值为，此时为的中点。（2）当点为棱的中点时，点的坐标为，设，则，所以点的坐标为，所以，当，即为的中点时，取到最小值。矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度7
