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1、相似三角形知识点整理相似三角形知识点整理 一、本章的两套定理一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。 二、有关知识点：二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等角相等，对应边成比例对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于” 。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法
2、与全等的判定方法的联系列表如下： 类型斜三角形直角三角形 全等三角形的判定SASSSS AAS（ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成 比例夹角相 等 三边对应成 比例 两角对应相 等 一条直角边 与斜边对应 成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中 探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
3、成比例，那么这两个直 角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例应边成比例。 (3)相似三角形的对应高高线的比，对应中线中线的比和对应角平分线应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性 如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2 c d a b d b c a a c b d 或 合比性质： d dc b ba bcad d c b a （比例基本定理） b a ndb mca ndb n m
4、 d c b a :)0(等比性质 三、注意三、注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。 在利用定理证明时要注意 A 型图的比例，每个比的前项是同一个三 AD AB DE BC AE AC 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成 的错误。 AD DB DE BC AE EC 2、 相似三角形的基本图形 .平行线型：即 A 型和 X 型。 .相交线型 三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似
5、三角形的重要途径。 5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比公比”为为 k k。 相似三角形测试卷相似三角形测试卷 一、选择题一、选择题 1 1下列命题中，正确的是（ ） A任意两个等腰三角形相似 B任意两个菱形相似 C任意两个矩形相似 D任意两个等边三角形 相似 2、 已知点 C 在直线 AB 上，且线段 AB=2BC，则 AC:BC=（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 3、如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A 2 cm2 B 4 cm2 C 8
6、cm2 D 16 cm2 4、ABC 中，DE/BC，且SADE:S 梯形 BCED=1:2，则 DE:BC 的值是（ ） A1:2 B1:3 C1: D1:23 5、如图ABCD 中,Q 是 CD 上的点，AQ 交 BD 于点 P，交 BC 的延长线于点 R，若 DQ:CQ=4:3，则 AP:PR=（ ） A4:3 B4:7 C3:4 D3:7 6、如图，梯形 ABCD 的对角线相交于点 O，有如下结论： AOBCOD，AODBOC，SAOD=SBOC，SCOD:SAOD=DC:AB；其中一定正确的有（ ） C E D B A C A D B. C B D E A A1 个 B2 个 C3
7、个 D4 个 7 、如图，ABCD 中，E 为 AD 的中点已知DEF 的面积为 S，则DCF 的面积为（ ） AS B2S C3S D4 8、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为 20cm，则它的宽 约为 A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64c 第 3 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 9、如图，中，是上一点，RtABCABAC3AB 4AC PBC 作于，于，设，则（ ）PEABEPDACDBPxPDPE ABCD3 5 x 4 5 x 7 2 2 1212 525 xx 10、如图，在ABCD 中，E
8、是 BC 的中点，且AEC=DCE，下列结论不正确的是( ) A、BF= 2 1 DF B、SFAD=2SFBE C、四边形 AECD 是等腰梯形 D、AEB=ADC 二、填空题二、填空题 11、如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形 ADHE，则：等于 度_ADEACEABE 12、一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸 条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_张 13、如图中，垂足是 D，下列条件中能证明是直角三角形的有 （只填序ABCABCD ABC 号） 。 90BA 222 BCACAB
9、 BD CD AB AC BDADCD 2 14、如图，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图 中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则ABC 的面积是 _ . 第 11 题 第 12 题 第 13 题 第 14 题 三、解答题三、解答题 O C B D A R Q P D CB A A D C P B E A BC D E F H G FE DCB A D C BA 15、 （1）已知：，求 的值 151110 accbba cba: 16、如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F
10、 为线段 DE 上一点，且AFEB.求 证：ADFDEC若 AB4,AD3,AE3,求 AF 的长.3 17、已知ABC，延长BC到D，使CDBC取AB的中点F，连结FD交AC于 点E （1）求 AE AC 的值；（2）若ABaFBEC，求AC的 长 18、如图，已知：，求证： DE BC AE AC AD AB BDACCEAB 19.如图，在ABC 中,AB=AC=1,点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BD=,CE=.如果BAC=30，DAE=105，试确定xy 与之间的函数关系。yx 20 已知，如图，梯形 ABCD 中，ABDC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交 DC 于
11、F、G，且 DF = FG，对角线 BD 交 AF 于 E，求证：APPF = AEEF E D C B A E A D BC 21、E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MNDE 交 AB 于 M，交 DC 的 延长线于 N，求证： EC = DCCN； CN = ； NE = ； 2 4 1 4 5 22、如图中，边 BC=60，高 AD=40，EFGH 是内接矩形，HG 交 AD 于 P，设 HE=x,求矩形 EFGH 的周长 y 与 x 的ABC 函数关系式；求矩形 EFGH 的面积 S 与 x 的函数关系式。 23 正方形边长为 4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂ABCDMNBCCDMBCAMMN 直， （1）证明：；RtRtABMMCN （2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形BMxABCNyyxM 面积最大，并求出最大面积；ABCN （3）当点运动到什么位置时，求此时的MRtRtABMAMNx 值 A B CD F P G E P H G F E A B DC AB C D E M N
