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1、相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 证明：过点C作CG/FD交AB于G 小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 分析
2、：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）。 方法二：如图，过D作DN/EC交BC于N 二、作垂线3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N （1） 又 （2） （1）+（2） 又 AN=CM 三、作延长线例5. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G
3、，求证：FG=CFBF解析：欲证式即 由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF四、作中线例6 如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1） 又 又 EC=1 （2） 由（1）（2）得， 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这
4、两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键练习题 1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EFBC=ACDF2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：。例1： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CDAC证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AEAC，连结BE，
5、 ABAC， ABAC=AEEBC=90，又BDACEBC=BDC=EDB=90，E=DBC，EBCBDC即BC22CDAC证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90ACEBCD即BC22CDAC证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDCJ即BC22CDAC 例2已知梯形中，是腰上的一点，连结（1）如果，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点， ，为的中点又 ，又 为等边三角形 故 解
6、法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的延长线于作，分别交、于点、则，得矩形 ，又 ，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得， ， 解法2（补形法）如图，延长、交于点，又设，则，解法3（补形法）
7、如图连结，作交延长线于点连结则，故（1），故（2）由（1）、（2）两式得即解法4（割补法）如图连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，又，故说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形. 例3如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值解法1： 延长FE交CB的延长线于H， 四边形ABCD是平行四边形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC
8、=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如图42，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.解析：取CF的中点G，连接BG B为AC的中点， BG：AF=1：2，且BGAF，又E为BD的中点， F为DG的中点 EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延
9、长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长解法1： 过O点作OMCB交AB于M， O是AC中点，OMCB， M是AB的中点，即， OM是ABC的中位线，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N，则BEF与CNF的对应边成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比
10、例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法1： 如图49，过C点作CEAD，交BA的延长线于E在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线证法2： 如图410，过D作DEAC交AB于E，则2=3 1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同
11、一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置证法3： 如图411，过B作BEAC，交AD的延长线于E，则2=E 1=2， 1=E，AB=BE又， .分析4 由于AD是BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证证法4 如图412，过D点作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F易证四边形AEDF是菱形则 DE=DF由BDEDFC，得又 ， .一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD例3：已知，如图，D为ABC内
12、一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）例7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的
