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1、教学内容 等腰三角形分类讨论综合1. 理解等腰三角形的性质和判定定理；2. 能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3. 初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4. 体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5. 培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。例1.如图，在RtABC中，BAC= 90，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且EDF= 90（1）求DEDF的值；（2） 设直线DF与直线AB相交于点G，EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由。（）AA例1题图BCDEFA【满分解答】：（1）BAC
2、= 90 B +C 90，AD是BC边上的高 DAC+C=90B =DAC 又EDF= 90BDE+EDA=ADF +EDA = 90BDE =ADFBEDAFD DEDF =（2） 若EFG为等腰三角形，根据点的不同位置分两大类讨论： （图1） 当点在射线上时，如图1。因为所以为钝角，则EFG为等腰三角形时，为中点则，在直角中，又，则可求得 。 所以：另解：由EFG为等腰三角形可得，所以，再过点作垂线，利用三角比可求得。当点在射线上时，如图2。因为所以为钝角，则EFG为等腰三角形时，为中点又所以：。综上可得，当EFG为等腰三角形时，或。例2.如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重合）
3、，且保持，以为边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，请直接写出的长。（）GFEDCBA 【满分解答】：过点作，垂足为点。，则，；设，则，。当是等腰三角形时，根据点的位置，分以下情况讨论：（1） 当点在内部时：因为，所以该情况下只可能。但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点作）。（如图1）则：，所以，即，解得：；（2） 当点在外面时：分以下情况讨论当时：则，解得：；当时：（如图2）设与交点为，则可得：且点为中点，所以：，即：，解得：；当，不成立。综合上可得：当是等腰三角形时。 （图1） 1.已知在梯形中，如图1。（本题满分14分）（）（1）求证：；（2）若点在线段上运动，与点不重合，联
4、结并延长交的延长线于点， 如图2，设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点在线段上运动，与点不重合，联结交于点，当是等腰三角形时，求的值APDCB图2QOAPDCB图1【满分解答】：（1）证明：1分1分，1分1分1分 （2）解： ，四边形是平行四边形 1分1分，1分1分定义域是：1分 （3）解：当时， 由（2）知：， 2分当时，易得：易证：即：四边形是平行四边形 2分 （ 注：当时不存在）APDCBMNAPDCBMN动点产生的直角三角形6. 理解直角三角形的性质；7. 能用直角三角形的性质解决相关问题；8. 培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；9. 培养学生分析问题、解决问题
5、的能力。练习1.在中，点、分别在边、上（点不与点、点重合），且保持。（1）若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当 为直角三角形时，求点、之间的距离。【满分解答】：（1），.又，. .， ，又， ，即.故所求的函数关系式为，. （2）当时：如图1， ，则 点为中点，则 当时：如图2， ，解的 当时，不成立。 综上可得，当 为直角三角形时，或。 （图1） （图2）【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5分钟左右。动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略： 1.寻找题目中的已知量； 2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解； 3如不能，则利用勾股定理解答； 4.注意：
6、分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。1.已知ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上。（满分10分，3分+7分）（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；（2）GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由。 （）【满分解答】：（1）ABC为等边三角形，B=C=60，AB=BC=AC=6. DPAB，BP=x，BD=2x. .1分 又四边形DEFG是正方形， EFBC，EF=DE=y，
7、 . ，.1分 .1分 （3） （定义域写错扣0.5分） （2）GDP能成为直角三角形. PGD=90时，则点共线，所以； ，.1分 ，.1分得到：.1分GPD=90时，点在边上，则点共线，所以所以： ，.1分，.1分得到：。.1分当时，不成立。当GDP为直角三角形时，BP的长 为或者.1分 动点产生的相似三角形1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略；3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；
8、5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。例1.如图，在中，是斜边上的中线，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设，。（）（1）求关于的函数关系式及定义域；（2）过点作交于，当和相似时，求的值。【满分解答】（1）在中， ， 是斜边上的中线， ； ，定义域为 （2） 当和相似时，可得和也相似 分两种情况：当时，在中，解得； 当时，在中， ，解得 综合，或10练习1.已知如图，在等腰梯形ABCD中， ADBC，AB=CD，AD=3，BC=9，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CFAB 交射线
9、BP于点F。（）（1）.设PN，CE，试建立和之间的函数关系式，并求出定义域；（2）.联结PD，在点P运动过程中，如果和相似，求出PN的长。【满分解答】：过点E作EGBC， 由题意有EGMN，即（3）（）当时，PDCF，即（）当时，过点P作PHDE交AD的延长线于点O。则又，即，因为都在定义域内，所以当时，和相似。例2.如图，已知梯形中，/，ADB(备用图）ADBCEP点在边上运动（点不与点、点重合），一束光线从点出发，沿的方向射出，经反射后，反射光线交射线于点。联结，若以点、为顶点的三角形与相似，试求的长度。（）【满分解答】：ADBC DAPAPB， APBEPC DAPEPC 若APD与PCE, 则有如下两种情况：（）ADPC 时， 推出BP=2时，APDPEC； () APDC时 （法一）又ADPDPC APDDCP解得，经检验，均符合题意故时，APDPCE；当BP为2，时，APD与PCE相似。（法二）过点D作DHAP于点HDAPAPB cotC=
