安徽理工大学课程设计说明书课程设计说明书球的弹起下落问题学院（部）： 专业班级： 学生姓名： 指导教师： 2013 年 12 月 20 日22目录摘 要 21背景意义 31.1 背景 31.2 意义 42理论及公式 52.1 碰撞冲击问题理论知识 52.2 有限元法 72.3 ABAQUS理论 83有限元分析 103.1 模型材料与几何参数 103.2 有限元模型的建立 103.3 结果与分析 134小结 20摘 要工程结构的动力问题有两大类，一类是求结构的自振频率（固有频率）及相应的振型，另一类是求在任意动力载荷（例如冲击力、风、海浪或地震）作用下结构位置、变形或内力等随时间的变化规律对于线性结构，其自振频率和振型只与结构本身属性（如刚度、质量分布、约束条件等）有关、而与引起结构振动的原因无关，是结构本身的固有属性而对于非线性结构，其动力学上的有关特性不仅与结构自身属性有关，而且与引起结构振动的原因有关对结构进行动力分析的目的要保证结构在使用期间，在可能发生的动力载荷作用下能够正常地工作，并确保其安全可靠。
这就需要知道结构在任意动力载荷作用下随时间而变化的响应（包括位移、应变和应力等）这就需要一套有效的求解动力响应的方法对于小型简单的动力学问题，应用相关的动力学理论知识便可解答，但对于非线性复杂的动力学分析，用理论知识求解过于繁琐也不现实，随着计算机技术的发展这类问题得到一定程度上的解决，现如今各种分析软件如：ANSYS、ABAQUS以及ADINA等这些软件不管在静力问题还是动力问题上都能很好的应用本设计课题研究的是冲击方面的动力分析冲击，顾名思义是一个结构体撞击另一个结构体的动力问题，其研究的是二物体碰撞时由于外力急速变化引起的结构物的短暂响应，控制方程和一般动力问题没有什么不同，但是在碰撞的过程中有应力波传播、局部区域的弹塑性变形、短时响应以及局部破坏等现象如果采用数值分析方法进行求解，则要使用较小的单元网格分割，对时间间隔△T也需要取得很小对于工程中三维问题计算费用相当大为了应对这方面的问题，这次课题采用CAE软件辅助的办法减小计算成本以及加快计算速度1背景意义1.1 背景该课题研讨的是小球自由落体与底板碰撞的动力学分析问题，这其中存在两个可以说独立的过程，一个是自由落体过程，另一个自然是碰撞接触过程。
现在分别对两种分析进行相关的介绍对于自由落体问题，历史上对自由落体最先研究的是古希腊的科学家亚里士多德，他提出：物体下落的快慢是由物体本身的重量决定的，物体越重，下落得越快；反之，则下落得越慢亚里士多德的理论影响了其后两千多年的人直到物理学家伽利略在提出了相反的意见伽利略在1636年的《两种新科学的对话》中写道：如果依照亚里士多德的理论，假设有两块石头，大的重量为8，小的为4，则大的下落速度为8，小的下落速度为4，当两块石头被绑在一起的时候，下落快的会因为慢的而被拖慢所以整个体系和下落速度在4-8之间但是，两块绑在一起的石头的整体重量为12，下落速度也就应该大于8，这就陷入了一个自相矛盾的境界伽利略由此推断物体下落的速度应该不是由其重量决定的他在书中设想，自由落体运动的速度是匀速变化的伽利略自由落体定律：物体下落的速度与时间成正比，它下落的距离与时间的平方成正比，物体下落的加速度与物体的重量无关，也与物体的质量无关为了彻底改变亚里斯多德的错误所形成的影响，伽利略特意在比萨斜塔上当众用两个大小不一的铁球做了一次实验，结果让所有在场的人大吃一惊，两个铁球同时落地亚里士多德（前384—前322年），古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。
是柏拉图的学生，亚历山大的老师公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派马克思曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物，恩格斯称他是古代的黑格尔现在科学界对自由落体问题的认识还是从伽利略时期开始的也正是因为那个经典的落体实验推翻了亚里士多德对重物下落问题的理论经过几百年的科学发展，无疑伽利略是对的碰撞，在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用 碰撞前后参与物发生速度，动量或能量改变由能量转移的方式区分为弹性碰撞和非弹性碰撞弹性碰撞是碰撞前後整个系统的动能不变的碰撞弹性碰撞的必要条件是动能没有转成其他形式的能量（热能、转动能量），例如原子的碰撞非弹性碰撞是碰撞后整个系统的部分动能转换成至少其中一碰撞物的内能，使整个系统的动能无法守恒两个作相对运动的物体，接触并迅速改变其运动状态的现象可以是宏观物体的碰撞，如打夯、锻压、击球等，也可以是微观粒子如原子、核和亚原子粒子间的碰撞经典力学中通常研究两个球的正碰，即其相对速度正好在球心的联线上由于碰撞过程十分短暂，碰撞物体间的冲力远比周围物体给它们的力为大，后者的作用可以忽略，这两物体组成的系统可视为孤立系统动量和能量守恒，但机械能不一定守恒。
如果两球的弹性都很好，碰撞时因变形而储存的势能，在分离时能完全转换为动能，机械能没有损失，称完全弹性碰撞，钢球的碰撞接近这种情况如果是塑性球间的碰撞，其形变完全不能恢复，碰撞后两球同速运动，很大部分的机械能通过内摩擦转化为内能，称完全非弹性碰撞，如泥球或蜡球的碰撞，冲击摆也属于这一类介于两者之间的即两球分离时只部分地恢复原状的，称非完全弹性碰撞，机械能的损失介于上述两类碰撞之间微观粒子间的碰撞，如只有动能的交换，而无粒子的种类、数目或内部运动状态的改变者，称弹性碰撞或弹性散射；如不仅交换动能，还有粒子能态的跃迁或粒子的产生和湮没，则称非弹性碰撞或非弹性散射在粒子物理学中可借此获得有关粒子间相互作用的信息，是颇为重要的研究课题1.2 意义前人的成果是为了让后人能有更大的成果，而作为后人不能也不会让探索世界的脚步就这样停止对简单的自由落体问题，现如今的科学界以对其有很深的认知，然而认知无底线由于碰撞类问题的研究日渐盛行，人们对其研究的的热情有增无减，该课题研究的就是将自由落体运动和碰撞运动结合在一起的复合运动的非线性问题这类问题可以应用到很多类似的落体问题的现实中去，比如跌落，拍打篮球等行为。
不同的材料，得到的结果必然不同但是跌落类碰撞问题太多，而自己正在分析的可能是前人没有研究的在这方面的该问题的问题希望自己对这类问题的研究能够在某种程度上起到前人的推动作用，即便微乎其微2理论及公式2.1 碰撞冲击问题理论知识 碰撞问题牵涉到动力学分析，它所研究的不单单是简单的静力学方面的问题，更涉及到非线性的，无限自由度的，瞬时的动力分析问题由于篇幅限制，这里仅介绍一些简单的动力学理论，具体这方面知识可自行参考相关书籍2.1.1 理论分析结构动力学分析中，把结构的质量假设为一连续的空间函数因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解2.1.2 数学模型的建立将结构离散化的方法主要有以下三种：1) 集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。
对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效；2) 瑞利－里兹法（即广义位移法）：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数f(x)之和来表示，这样，离散系统的运动方程就以广义坐标qj作为自由度对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效（具体类容可见结构动力学基础一书）；3) 有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利－里兹法通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用2.1.3 动力学基本运动方程 这里也简单的对动力学基础运动方程给予简单的介绍。
可用三种等价但形式不同的方法建立，即：1) 用达朗伯原理引进惯性力，根据作用在体系或其微元体上全部力的平衡条件直接写出运动方程；2) 利用广义坐标写出系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力表达式，根据哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程；3) 根据作用在体系上全部力在虚位移上所作虚功总和为零的条件，即根据虚功原理导出以广义坐标表示的运动方程对于复杂系统，应用最广的是第二种方法通常,结构的运动方程是一个二阶常微分方程组,写成矩阵形式为：MX+CX+KX=Q(t)式中M、C、K、分别为质量、阻尼、刚度矩阵，X为结构的广义坐标矩阵，Q为结构的广义力矩阵2.1.4 理论求解公式：根据振动力学和结构动力学理论，我们可以计算出简支梁的固有频率和模态函数，计算过程如下：连续梁的自由振动方程为 ： （2.1）由分离变量法设： （2.2）代入自由振动方程得： （2.3）对于等截面梁： ，其中 ， （2.4）可得通解： （2.5）应满足的频率方程由梁的边界条件确定，对于简支梁固定铰由于挠度和截面弯矩为零则在两端有： ， ， （2.6）带入上式得： （2.7）以及: （2.8）由 （2.9）可得频率方程：, （2.10）固有频率： , （2.11）频率： , （2.12）模态函数： , （2.13）2.2 有限元法有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的计算方法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极。