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1、特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量， 称为A的特征多项式，记 (l)=| lE-A|，是一个P上的关于 l 的n次多项式，E是单位矩阵。 (l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。 特征方程 (l)=| lE-A|=0的根 (如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ，得方程组 (l0E-A)X=q，是一个齐次方程
2、组，称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0，(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0) ，X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。 一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得： l0E-AX=q 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根 是特征多项式 |l0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根 l1, l2, ln，为A的n个特征根。 当特征根 li (I=1,2,n)求出后，(liE-A)X=q 是齐次方程，li均会使 |liE-A|=0，(liE-A)X=q 必存在
3、非零解，且有无穷个解向量，(liE-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵 的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值 l1=l2=-2，有单特征值 l3=4 对于特征值 l1=l2=-2，解方程组 (-2E-A)x=q 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量) 分别令自由未知量 得基础解系 所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为 x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零) 可见，特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。 对
4、于特征值 l3=4，方程组 (4E-A)x=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=2 得基础解系 所以A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= k3 x3 例2. 求矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A有单特征值 l1=1，有2重特征值 l2=l3=0 对于 l1=1，解方程组 (E-A) x = q 得同解方程组为 同解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 所以A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量为 x=k1x1 (k10) 对于特征值 l2=l3=0，解方程组 (0E-A)=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 此处，二重根 l
5、=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。 所以A的对应于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量为 x=k2x3 例3 矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A的特征值为 l1=1, l2=i, l3=-i 对于特征值 l1=1，解方程组 (E-A)=q ，由 得通解为 令自由未知量 x1=1，得基础解系 x1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值 l1=1得全部特征向量为 x=k1x1 对于特征值 l2=i，解方程组 (iE-A)=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 x2=(0,i,1)T，所以A对应于特征
6、值l2=1的全部特征向量为 x=k2x2 (k20)。 对于特征值 l3=-i，解方程组 (-E-A)x=q，由 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 x3=(0,-i,1)T，所以A的对应于 l3=-i的全部特征向量为 x=k3x3 。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。 特征向量只能属于一个特征值。而特征值 li的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 (liE-A)x=q 的非0解。其中，方程组(liE-A)x=q的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。 性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1，l2，, ln(包括重根)，则 证第
7、二个式子： 由伟达定理，l1l2ln=(-1)nan 又 |lE-A|=ln+a1ln -1+an-1l1+an 中用 l=0 代入二边，得： |-A|=an， 而 |A|=(-1)nan= l1l2ln， 性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证： 可见 是A-1的一个特征根。 其中 l0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若li=0, |A|= l1l2ln=0，A奇异，与A可逆矛盾。 性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证：1) Ax=
8、lx，二边左乘A，得：A2x=Alx=lAx=llx=l2x， 可见 l2 是 A2 的特征根； 2) 若 lm 是 Am 的一个特征根，Amx= lmx， 二边左乘A，得：Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x， 得lm+1是Am+1的特征根 用归纳法证明了lm 是 Am 的一个特征根。 性质4. 设 l1，l2，, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,m)，则 x1,x2,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。 性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。 性质4可推广为：设 l1，l2，, lm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量，xm1,xm2,xm,k1是属于lm 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,x1,k1, xm1,xm2,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。 矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度
