数值分析例题精

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1、数 值 分 析,第一章 绪论与误差分析,1 绪论：数值分析的研究内容 2 误差的来源和分类 3 误差的表示 4 误差的传播 5 算法设计的若干原则,例1-3 设 x*=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的近似值。问 x的绝对误差限和相对误差限各是多少？,解：因为 x=x * 0.005 ，,关于近似数误差的大小除了用绝对误差、相对误差度量以外，还可以用有效数字度量，下面给出有效数字的概念。,所以绝对误差限为=0.005,相对误差限为,三、有效数字,一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得，例如,取以下近似数,可以发现每一个近似数的绝对误差限都不超过近似数末尾数位的半个单位。如果一个近似数

2、满足这个条件，就把这个近似数从末尾到第一位非零数字之间的所有数字叫做有效数字。,则分别得到这些近似数的绝对误差,结论：通过四舍五入 原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。,则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。,定义1.3 设数 x 的近似值可以表示为,其中 m 是整数,i (i=1,2, , n) 是0到9 中的一个数字，而1 0. 如果其绝对误差限为,例如近似数 x*=2.0004 ，其绝对误差限为,由科学计数法 x* = 0.20004101 得到,故，该近似数有五位有效数字。,是末尾数位的半个单位，即由四舍五入得来,小结：由科学计数法表示的数字，若其绝

3、对误差限满足不等式，则有n位有效数字,例1-4 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：,解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。,有5位有效数字。同理可以写出,可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效数字。,x1* =87540，x2*=875410, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 10-2,已知,例1-4 已知 e =2.718281828, 试判断下面两个近似数各有几位有效数字？,解：由于,而,所以,e1有7位有效数字。同理：,e2 只有6位有效数字。,三、绝对误差、相对误差、有效数字的

4、关系,2、绝对误差与有效数字的关系,得到：,1、绝对误差与相对误差的关系,可以知道：有效数字位数越多，绝对误差限越小。,由关系式：,3、相对误差与有效数字的关系,由近似数,得到相对误差限,可以看出：有效数字位数越多，相对误差限越小。,及,解：由于 ，则近似值 x* 可写为,例 1-5 为了使 的近似值的相对误差小于 10-3，问应取几位有效数字？,根据,只要,即可,解得：n4 ，,故只要取 n=4 , 就可满足要求。,即应取 4 位有效数字，,准确数为：,此时 x =4.472 .,练习1.1: 判断下列近似数个有几位有效数字，用绝对误差限表示。,注意：精确值的有效数字可以认为有无限多位。如：

5、,x1*=24.67,x2*=385010 3,x3*=0.674210 -2,x4*=0.000374,x5*=0.8400,习 题 一,1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000,1-2 下列近似值的绝对误差限都是0.005, a=-1.00031 , b=0.042 , c=-0.00032 试指出它们有几位有效数字。,1-3 为了使 的近似值的相对误差小于0.01%，试问应取几位有效数字？,1-4 求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四位

6、有效数字,1-6 设 ,假定 g 是精确的，而对时间 t 的测 量有 0.1s 的误差。证明：当t 增大时，S 的绝对误差增大而相对误差减小.,1-5 若取 及初始值 y0=28 ,按递推公式,计算 y100，试估计y100 有多大误差。,第二章 代数插值,1 多项式插值问题 2 Lagrange插值多项式 3 差商及Newton插值多项式 4 分段插值多项式 5 三次样条(Spline)插值多项式,一、线性插值（n=1）,求解 L1(x)=a1 x+a0,使得 f(x) L1(x), x x0 , x1.,根据点斜式得到,如果令,则称 l0(x) , l1(x)为一次插值多项式的基函数。这时

7、：,并称其为一次Lagrange插值多项式。,f(x) L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x),二、抛物线插值（n=2）,求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0,使得 f(x) L2(x), x x0 , x2.,关于二次多项式的构造采用如下方法：令,并由插值条件,得到,L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1),L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2,于是得到,则有,f(x) L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x),如果令,并称其为二次Lagrange 插值多项式。,紧凑格式,

8、则称 l0(x) , l1(x)，l(x)为二次插值多项式的基函数。这时：,这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式,紧凑格式,这样就得到在区间a,b上关于 f(x) 的近似计算式,基函数表示, 3(x)表示式,下面给出n次拉格朗日插值多项式的构造。,三、n 次Lagrange插值多项式,已知n+1组离散数据,按照二次Lagrange插值多项式的构造方法，令：,将插值条件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：,同理，由插值条件 Ln( x1 )= y1 ，得到：,对于误差估计式,当n=1时,于是，得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计,这里 f(x) =Ln(x)+Rn(x)

9、,当 f(x) Ln(x) 时，误差为Rn(x)。,例2 已知,分别用线性插值和二次插值计算 sin0.3367.,解：设,（1）取 x0 ,x1 作线性插值,于是,关于误差，由,得到：,（2）.取 x0 ,x1 ,x2 作二次插值,得到,关于误差，由,得到,本节(2 )要点,掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和结果 3. 编写Lagrange插值多项式计算程序进行实际计算,练习 ：已知函数y=f(x)的如下离散数据,(1). 试用线性插值求函数在 x= 1.5处的近似值。 (2). 试用二次插值求函数在 x= 1.5处的近似值。,

10、这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。,解：由差商与导数的关系式,得到,2. Newton插值多项式具有递推式,由,例4 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.5).,解：先由前五组数据列差商表,1 0 2 2 3 12 4 42 5 116,2 10 30 74,4 10 22,2 4,0.5,得到：,如果，再增加一点(6, 282),就在上表中增加一行计算差商。,6 282,166,46,8,1,0.1,由Ne

11、wton公式的递推式得到：,得到：,练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多项式，增加一点(6,70)后， 再求出四次Newton插值多项式。,关于离散数据：,构造了lagrange插值多项式：,Newton插值多项式：,根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍,4.2 分段线性插值,为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼近 原函数。,设 y=f(x) 在节点a = x0 x1 xn= b 处的函数值为 yi = f (xi) , i=0,1,2,n .,这时的插值函数为分段函数：,在区间 上的线性函数为,误差为：,

12、则有：,令,可以按如下的方式考虑：,关于整体误差：,于是,当 h 0 时，分段线性插值S(x) 收敛于f(x) 。值得注意的是：分段线性插值虽然有很好的收敛性质，但却不是光滑的。也就是说，S(x)的导数不一定存在！,若记 则对任一 x a,b 都有,下面我们就考虑在节点处可导的插值多项式的构造。,4.3 分段Hermite 插值,分段线性插值多项式S(x),在插值区间a,b上只能保证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分段插值多项式，可采用分段Hermite插值。,如果已知函数y=f(x) 在节点a = x0 x1 xn= b 处的函数值和导数值：,则在小区间x i-1 , xi 上有

13、四个插值条件：,故能构造一个三次多项式 Hi(x) 并称其为三次埃尔米特(Hermite)插值多项式。,yk=f(xk), yk=f (xk) , k=0,1, ,n,yi-1=f(xi-1), yi=f (xi) ,y i-1=f (xi-1), yi=f (xi) ,代入下式,得到,这样，便求出了分段三次Hermite插值多项式：,关于误差，若f(x)在a,b具有4阶连续导数，可推得,其中,如果记,则有：,即,关于整体误差，若 f(x) C4a,b ,则可按如下方式考虑：,记,则有：,于是,当h 0 时，R(x) 0.说明分段三次Hermite插值 H(x) 收敛于f(x) 。,本节(4

14、)问题,2.分段线性插值有何优缺点？如何估计误差？,4.如何分段线性插值算法的程序设计？,1.何为高次插值的Runge 现象，应如何避免？,3.分段三次Hermite插值有何优缺点,如何估计误差,5.如何构造满足以下条件的插值多项式并估计误差？,2. 三次样条函数的定义,已知函数y=f(x) 在节点a = x0 x1 xn= b 处的函数值为,如果函数 S(x) 满足条件：,（2）S(x) 在子区间xi-1 ,xi上是不超过三次的多项式；,则称S(x) 是三次样条插值函数。,（3）S(x) 在a,b具有二阶连续导数；,yk =f( xk) , k=0,1,2, ,n,（1） S(xk)=yk

15、， k=0,1,2, ,n；,常用的边界条件有以下几种：,边界条件1m：,边界条件2M：,边界条件3：假定函数y=f(x)是以b-a 为周期的周期函数，这时要求S(x) 也是周期函数，即,这样我们便可以具体求出样条函数来。,令：,于是,得到,这样，我们只需要求出 m0 ,m1 ,m n 即可。,边界条件1：,这时方程,改写为：,或者，表示为矩阵方程,(2.4),由于 k+k =1 ,方程（2.4）的系数矩阵是严格对角占优矩阵，方程（2.4）有惟一解，并可用追赶法求解。,便得到三次样条函数：,解出m0 ,m1 ,m n 以后，代入下式,也就是：,边界条件2：,已知：,故可以得到,将,与前面得到的方程组,结合，可以给出求解 m0 ,m1 ,m n 的方程组：,求解此方程组，也可以求出三次样条函数。,(2.5),或者表示为矩阵方程,由第一个等式和第二个等式得到 y0=yn ,m0=mn,边界条件3：周期边界条件,由第三个等式说明,令,得到,结合得到,与,将,表示为矩阵方程：,(2.6),其系数矩阵称作周期三对角矩阵，也是严格对角占优 ，因而方程组有唯一解。,三次样条函数三转角算法的实现流程,Step1: 输入节点x0 ,x1 , xn ,函数值y0 ,y1 , yn、 边界条件及 x.,Step3: 根据边界条件，求解相应的方程组得到 m0 , m1 , ,