《奥数第4讲巧求周长与面积资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数第4讲巧求周长与面积资料（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、巧求周长与面积掌握巧求周长与面积的基本方法；1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。【例1】 （年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分是正方形，线段长厘米，线段长厘米，则长方形的周长是_厘米。【分析】 由于图中阴影部分是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形的宽。的和应为长方形的长加上正方形的边长，所以等于长方形的长与宽之和。所以长方形的周长为：厘米。【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙。甲的边长为厘米，乙的边长是甲的边长的倍，丙的边长是乙的边长的倍，那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？【分析
2、】 乙的周长实际上是正方形的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形的周长。由于，所以丙的周长为厘米，（厘米）。【例3】 用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】 大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是个。拓展 用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少
3、个？分析 大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形的边，所以有三角形个，小平行四边形个。【例4】 有个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是平方厘米，求这个大长方形的周长。【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的倍等于宽的倍，所以长是宽的倍。每个小长方形的面积为平方厘米，所以宽宽，所以宽为厘米，长为厘米。大长方形的周长为厘米。拓展 右图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽。分析 大正方形边长的倍等于小正方形边长的倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的倍，大正方形的面积是小正方形面积的倍，所以小
4、正方形面积为平方厘米，所以小正方形的边长为厘米，大正方形的边长为厘米，原长方形的长为厘米，宽为厘米。【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽分米的长方形,再截去宽分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少平方分米。原正方形的边长是_分米。【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长分米、宽分米的小长方形，所得长方形的面积是平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为分米，所以原正方形边长为：分米。【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？【分析】 通过分析题目中的已知条件可以
5、看出，面积为平方厘米和面积为平方厘米的两个长方形的宽相等，即相等，不妨假设厘米，可以算得：厘米，厘米。于是可以算得：厘米，厘米，厘米。于是大长方形的长为厘米，宽为厘米，因此大长方形的面积为平方厘米。【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加米（如图虚线所示），则面积增加平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【分析】 小正方形的面积为：平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为：平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为平方米。长方形的宽为米，那么长为：米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积
6、为（平方米）。【例8】 长方形的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知这四个正方形的面积之和为平方厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？【分析】 从图形我们可以看出，的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形周长的一半，可以看出若以和为边能构成大正方形（如右图所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形的边长为厘米，面积为：平方厘米，正方形与正方形的面积之和为：（平方厘米）。长方形与长方形的面积相等。所以，长方形的面积为：（平方厘米）。巩固 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正
7、方形，长方形纸片面积分别为平方厘米与平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？分析 做辅助线，如右下图，小正方形的面积为，所以,，原正方形面积为（平方厘米）。【例9】 如图，正方形的边长是，分别是和的中点，求四边形的面积。【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是，而阴影部分面积等于个小正方形面积，所以也是。综合应用【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小
8、正三角形的面积为平方厘米，求如图中整个图形的面积。【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图)，由已知，图中最小的小正三角形的面积是平方厘米，于是我们就以平方厘米的小正三角形为单位，对图进行分割，得到图。从图可以看出，一个大正三角形中包含个中正三角形，一个中正三角形中包含个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含个小正三角形，在图中，除了一个大三角形之外，还有个中正三角形和个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：个，而每个小正三角形的面积为平方厘米，所以图中图形的面积为平方厘米。【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形，中间阴
9、影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是平方厘米，四边形的面积是平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的倍。大正方形的面积等于四边形的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即平方厘米，所以大正方形边长为厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为厘米。【例12】 （年“希望杯”第二试）如右图，用标号为，的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是，则标号为的正方形的面积是多少？【分析】 如果标号为的正方形的边长是，那么号比号大，
10、号比号大，所以号比号大，又因为号和号的边长之和是，号和号的边长之和是，所以号比号大，即，标号为的正方形的面积是。巩固 （希望杯培训题）小军用编号为，的大小不同的正方形拼出一个长方形，如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？分析 因为正方形的边长正方形的边长正方形的边长厘米， 正方形的边长正方形的边长厘米，所以 正方形的边长(厘米)，正方形的边长正方形的边长厘米，所以正方形的边长厘米，周长为厘米。拓展 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由个小正方形组成的完美长方形。图中正方形和的边长分别是厘米和厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米
11、？分析 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。设最小的正方形边长为厘米，又因为小正方形的边长为厘米，小正方形的边长为厘米，所以小正方形的边长可以表示为（厘米），小正方形的边长可以表示为（厘米），小正方形的边长可以表示为（厘米），小正方形的边长可以表示为（厘米），小正方形的边长可以表示为（厘米），小正方形的边长可以表示为（厘米），观察大长方形可知：小正方形、的边长之和等于小正方形、的边长之和，可以列方程为：，解得。从而可得小正方形、的边长分别为厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米。大长方形的长为：（厘米），宽为：（厘米），大长方形的面积为：（平方厘米）。【例13】 有一大一小
12、两块正方形试验田，他们的周长相差米，面积相差平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图），将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图）。由于两个正方形的周长相差米，从而它们的每边相差米，即图中的长方形的宽是米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为平方米，从而长方形的长为：（米）。由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：（米）。所以小正方形的面积为：（平方米）。附加题目【附1】 从一块正方形的玻璃板上锯
13、下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图)，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为平方米，它的长和宽相差米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图)。图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即米。所以中间的小正方形的面积为平方米，那么大正方形的面积为平方米。因为，所以大正方形的边长等于米。所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为米，而长与宽的差为米，所以剩下的长方形的长为：米，即原正方形的边长为米。又知锯下的长方形玻璃条的宽为
14、米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为平方米。【附2】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（如右图），已知露在外面的部分中，红色面积是，黄色面积是，绿色面积是，那么正方形盒的底面积是多少？【分析】 黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸 片向左移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的面积，它们露出部分的面积和不变，为。当黄色纸片移动到正方形盒的最左边时，如右下图所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积为，绿色纸片露出面积也为。右下图中
15、，由于红色部分面积是绿色部分面积的倍，所以黄色部分面积是空白部分面积的倍。所以空白部分的面积为，正方形盒的底面积为。解答此题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。【附3】 右图中外侧的四边形是一个边长为厘米的正方形，求阴影部分的面积。【分析】 如右下图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形的面积，为平方厘米，所以阴影部分面积为平方厘米。巩固精练1. 右图中正方形的边长为厘米，每边被等分，求图中所有正方形周长的和。【分析】 分类进行统计：边长为厘米的正方形的周长的和是：(厘米)，边长为厘米的正方形周长的和是：(厘米)，边长为厘米的正方形周长是：(厘米)，图中所有正方形周长的和是：(厘米)。2. 用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示。已知外面大正方形的周长是厘米，里面
