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1、1,第五部分 定态问题的常用近似方法,一、学习要点,定态非简并微扰论,令 ，且能级 非简并，则,2,其中,关键是求 ，并知道 的精确解,2、定态简并微扰论,令 ， 的本征能量为 ，本征函数为 ，设 时 是 重简并的：,那么与 对应的0级近似波函数选哪一个？,选哪一个也不合适！,最好的方法是选取其线性组合，即,3,实际上在考虑微扰后 要分裂，每一个分裂的能级都应对一个新的0级波函数，并由上式给出。,将上式代入一级近似方程可得系数 满足方程,由久期方程可得 ，并分别代入上式可得一组系数 从而给出 所对应的0级近似波函数：,4,相应的一级近似能量为,如果 有重根，则某个能态仍是简并的，相应的0级近似
2、波函数仍不能确定。,因而求解一级近似能量和0级近似波函数的关键仍是求 在简并态 中的矩阵元,如果此时 中所有非对角元素均为0，即 则 就是0级近似波函数，此时每一个分裂能级对应一个 。,为什么？,5,因为我们已经证明：在利用上述程序给出的新的0级波函数中 是对角化的，故可以选 为0近似波函数。,注意：求解简并微扰问题的基本思想是：,一般 态中 是非对角化的。我们令 使 在新的 中是对角化的，这等于将 作个幺正变换，使之变成 。,在这个新的基矢下， （从而 ）是对角化的。而幺正变换矩阵就由展开系数 给出。关键是求这个幺正变换矩阵。,这个幺正矩阵可以将一组不能使H对角化的基矢变 成可以让其对角化的
3、基矢。,6,a.根据体系Hamilton量形式和对称性,b.满足问题的边界条件,3、变分法,1) 确定试探波函数,原则：,c.应包含一个或多个变分参数,2) 求Hamilton在试探波函数中的平均值,3) 求此平均值对变分参数的极值,4) 求出并由此得到基态能量和波函数,7,二、例题,5.2 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为,其中 试用微扰方法求二级 近似能量和一级近似态矢,提示：需要思考两个问题,解：按照微扰论的思想，可将哈密顿写为,1.是否H0表象？,2.是否简并？,如不是H0表象,如何给出 的矩阵元？,8,其中,显然不是H0表象。,但由H0的矩阵表示可以求出零级近似能量和相应 态
4、矢。,二级近似能量和一级近似态矢为,显然这是属于非简并微扰论的内容。,9,其中,将上述矩阵元代入近似能量和态矢表达式，有,10,类似计算得到,11,分析：这显然是非简并微扰论处理的问题。 矩阵元都知道，直接利用公式就可以。 目的：熟悉利用公式,解：,12,代入公式,则,13,如果类氢原子核是半径为 的均匀带电球面， 结果又如何？,提示：关键是写出微扰项来,（2）点电荷Coulumb势,（3）均匀带电球面的势能,14,解：基态能量是非简并的，采用非简并微扰论,先写出微扰算符来，它完全是由势修正带来的。,故能量的一级修正为,因,有,此时,15,当把原子核看作半径为R的均匀带电球面时，由 电磁学知识
5、可知,由此带来的微扰项为,算出的能级修正为,16,5.5 一维无限深势阱 中的粒子受到微扰 的作用，其中 为常数，求基态能量的二级近似 和波函数的一级近似。,解：,根据公式,分析：,题意非常明确，由所给条件套公式即可。,17,且,对1D无限深势阱，基态n=1，则,18,由此可以得出,19,解：,显然，根据题意，有,分析：,题意非常明确，是一维谐振子体系的非简 并微扰论问题,根据公式,20,利用递推公式,21,并利用正交归一关系,可以算出,故一级近似能量为,22,5.9 一质量为 的粒子在一维势场中运动，势函数为,这是个非简并微扰问题。 关键是记住宽度为a的对称势阱的波函数及本征能量！,23,解
6、：,不考虑微扰时，基态能量与波函数为,而微扰算符为,能量的一级修正为,故一级近似能量为,24,关键是利用泊松方程将微扰项写为,25,利用泊松方程将微扰项写为,解：,则基态能量的一级修正为,26,提示：,27,注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为,解：,由前面分析可知,这是非简并微扰问题。能量的一级修正为,考虑利用题目所给出的条件递推公式,28,则,其精度符合题目要求。,29,5.14 电子在类氢离子势场 中的定态 能量为 ，定态波函数为 。 这是在动能 的非相对论近似下得到 的结果。现在考虑 的相对论修正至 阶， 即修正项为 计算能级 的移动至 阶。,提示：,分析：,这显然是简并的微扰论
7、问题。其中,30,解：,利用公式,则,的本征值 是 简并的,相应的本征函数为,为求矩阵元方便 寻找同H0的关系,31,也就是说，我们可以选 作为0级近似波函数 使 从而 对角化。,（已经介绍：新选的0级波函数是使 对角化的）。,即每一个分裂能级对应一个 ，可用非简并 态微扰方法来处理简并微扰问题。此时,32,代入上式,得,以上用到Bohr半径,33,34,分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用 非简并微扰论,解：（1）一级微扰能即能量的一级修正,（2）Zeeman效应中给出了分裂强度,故其比值为,35,其中精细结构常数为,电子的静能为,玻尔磁子是个已知量,且 B=104高斯,可以得到 =2
8、.12×10-6。,（3） 是原子的磁四极矩同磁场的作用能！,36,（）给出此体系的Hamiltonian量及其本征函数 与本征值 。,5.17 一根质量均匀分布长度为 的杆，以它的中 心为固定点，被约束在一平面上转动。此杆具有 质量 和固定于两端的电荷 与 。,（ 2 ）如有一个处于该转动平面的恒定弱电场作用 于这个体系，用微扰方法求基态新的本征函 数（一级近似）与本征能量（二级近似）,（ 3 ）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。,提示: 1. 这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写 出相应的哈密顿； 2. 外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会 分别处理。,37,解
9、：,（1）设杆沿z轴转动，xy为转动平面。无外场的哈密顿可以比照平动方式写出,其本征值与本征函数分别为,（2）可以考虑所加弱电场的方向沿x方向， 即,当所加外电场较弱时，转子 可以在xy平面内转动，但受 到外场的微扰，转动不是很 均匀。,38,基态零级近似能量 是非简并的，零级近似 波函数为 ，由此求出微扰矩阵元,将相应的波函数代入，有,利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式,取无限处为0势点，则其微扰项是,39,由此得到基态的二级近似能量和一级近似波函数,以及,得到,40,（3）当所加外电场较强时，转子无法再沿z轴转动，只能相对x轴作微小角度 的振动,此式全哈密顿为,对于微小振动，可以将
10、展开为,代入上式得,下面的解就应该很容易了。,41,5.19 一空间转子作受碍转动， ， 其中 为正实数，且 。试计算 能级 的分裂及0级近似波函数。,分析：,由条件 知，第二项为微扰项，关键 是寻找可解的 ， 然后分析是否简并。,解：因为对自由转子来说， 的本征函数是球谐 函数，故可选,相应的本征函数是,其中,42,对于p 能级：,能级是三重简并的，其简并波函数可以写为,43,选取0级近似波函数为,关键是求系数,它们满足方程,其中,44,将各简并波函数 代入上式得,其它为0，则 ci 满足的方程变为,由久期方程,45,解之得,46,于是一级近似能量与0级近似波函数为,47,5.20 设在表象
11、 中， 与 的矩阵元为,48,49,50,51,解：,对于二维谐振子,未微扰哈密顿算符的本征值和本征函数为,由上述能级表达式可以看出,是二重简并的，对应于,故对应于两个波函数,52,按照简并微扰的思想，令新的零级近似波函数为,关键是求组合系数,它们二者满足方程,其中的微扰矩阵元是,53,由久期方程,54,解得,故能级 分裂为,本题给出求解简并微扰问题比较典型的步骤。,55,5.26（1）设氢原子处于沿 方向的均匀静磁场 中，不考虑自旋，在弱磁场 下，求 能级的分裂情况。,（2）如果沿 方向不仅有静磁场 ， 还有均匀静电场 ，再用微 扰方法求 能级的分裂情况( 一 级近似)。 （提示： 。）,对
12、于氢原子，一般来说加入磁场可以精确求解， 而加入弱磁场时也可以看作微扰。显然是简并 微扰。注意分析一下微扰项与简并态的关系。,加入电场则出现近似情况,56,解：,（1）写出加入磁场时的哈密顿,法1 考虑到B是弱场，用微扰论处理,未微扰哈密顿的能量本征值为,n2重简并态为,57,试分析一下在此简并态下微扰矩阵元的特点。,可以发现，在此简并态下，微扰算符是对角化的。,故可以用非简并微扰处理简并问题。从而给出能 级的一级修正,故精确到一级近似下的能量为,58,法2 直接进行精确求解,由于显然,二者具有共同的本征函数,在此共同本征态下，哈密顿算符的本征值为,59,两种方法 都能得到,对于 能级，,当
13、时，,当 时，,对于 能级，在加上外磁场后分裂成了三条,而对于 ，能级实际上并没有分裂，故,（非简并） 波函数,（非简并） 波函数,（2度简并） 波函数,60,（2）在磁场基础上再加上电场，其哈密顿为,由于前三项之和可以精确求解，故可令,这其中既有非简并微扰，又有简并微扰。,对于非简并的能级 ，其一级修正为,能级没有进一步分裂。,61,对于二重简并能级 ，需要求零级近似波函数 在此过程中也就求得了能量的一级近似修正。,令新的零级近似波函数为,这两个简并态分别为,关键是求组合系数,它们满足方程,其中微扰矩阵元,62,将其代入组合系数满足的方程，有,解之得,63,显然，加入电场后，除了加外磁场分裂
14、的三个能级 外，那个两重简并能级也分裂成两个，现在总共分 裂成了四个能级，它们分别是,补充例题：,64,提示： 变分法的基本思想,（1）定义试探波函数，并将其归一化,（2）求体系哈密顿在此试探波函数中 的平均值,（3）将上式平均值对待定参数求极值，同时 求出参数值,（4）将得到的待定参数代入平均值的基态能 量，代入试探波函数的基态波函数。,65,（2）求能量在此试探波函数中的平均值,解：（1）将试探波函数 归一化,得,故试探波函数为,利用积分公式,66,上式,（3）将能量对试探参数求极值，即令,有,（4）将所得试探参数代入能量及试探波函数， 得基态近似能量及波函数,67,（2）算出基态能量。,5.29 质子为的 粒子在一维势场 中运动，式中 。,（1）用变分法计算基态能量，在 区的试 探波函数应取下列波函数中的哪一个？为 什么？,68,1. 粒子在一维束缚势场 中运动,能级为 如果受到微扰 的作用，求能级的修正（二级近似）。,解：微扰前能量算符为,的本征函数记为 或 ，利用对易关系 得,在 表象中（以 为基矢）微扰矩阵元,其中,补充例题：,69,一维束缚态是非简并的，故能量一级修正为,能量二级修正,利用求和规则,可以得出,70,系统哈密顿量
