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1、台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数学 2018.01参考公式：柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式：其中、分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的表面积公式：球的体积公式：，其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则=（ ）A.B.C.D.2.若复数（为虚数单位），则=（ ）A.B.C.D.3.已知为锐角，且，则=（ ）A.B.C.D.4.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条
2、件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列满足，则（ ）A.B.C.D.6.有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）A.B.C.D.7.已知实数，满足不等式组则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.已知，是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）A.B.C.D.10.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共3
3、6分.11.双曲线的离心率为_，渐近线方程为_.12.已知随机变量的分布列为：则=_，=_.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_；表面为_.14.若的展开式中所有项的系数之和为256，则=_，含项的系数是_（用数字作答）.15.当时，的最小值为3，则实数的值为_.16.在中，内角，所对的边为，点是其外接圆上的任意一点，若，则的最大值为_.17.如图，在棱长为2的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为_.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知函数（，为常数），且，.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求函数的
4、最大值与最小值.19.如图，正方形的边长为4，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21.已知椭圆:的左右焦点分别为，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点，.求证：以为直径的圆恒过交点，并求出面积的取值范围.22.数列，中，为数列的前项和，且满足，.（1）求，的通项公式；（2）求证：；（3）令，求证：.台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学参考答案及评分
5、标准 2018.01一、选择题1-5:BCDBC6-10:DDABA二、填空题11.，12.，13.，14.，15.16.17.三、解答题.18.解：（1）由题得：，由，得故，当，时，的单调递增，可得，的单调递增区间为；（2）由（1）得，由得：.，故在上的最大值为，最小值为.19.解：（1），平面，又平面，由已知可得，平面；（2）由（1）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则，又平面，平面，在中，与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）函数的定义域为，解得或，为减函数，解得，为增函数，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）在恒成立，令，则，当时，当，在上单调递减，在上单调递增，.2
6、1.解：（1），又点在椭圆上，解得，或（舍去），又，所以椭圆的方程为；（2），方法一：当直线的斜率不存在时，为短轴的两个端点，则，则以为直径的圆恒过焦点，当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点，同理，则以为直径的圆恒过焦点，当的斜率存在且不为零时，面积为，又当直线的斜率不存在时，面积为，面积的取值范围是.方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点，以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点，又，面积为，当，不为短轴的两个端点时，面积为，面积的取值范围是.22.解：（1），当时，（2），；（3）当时，左边右边，当时，令，则，易知在上单调递增，所以，由可知对于任意的，.矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度
