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1、图形变换是计算机图形学基础内容之一 几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不变，拓扑关系不变。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。,图形变换和齐次坐标,图形的几何变换,几何变换：图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。 几何变换的两种形式： 1.图形不变，坐标系改变； 2.图形改变，坐标系不变。,二维图形变换,1. 平移变换 从点Px,y平移到点Px,y x = x + m y = y + n,P(x,y),P(xy),m,n,X,Y,2 旋转变换,一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。,3 比例变换,P(x,y
2、),P(x,y),x = x*sx y= y*sy,Sx = Sy： 均匀缩放。 Sx = Sy 1，放大 Sx = Sy 1，缩小 Sx 不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩,Y,X,4. 对称变换 关于X轴的对称变换 P(x,y) 对称点为 P(x, -y) 关于Y轴的对称变换 P(x,y)对称点为P(-x, y) 关于坐标原点的对称变换 P(x,y) 关于原点的对称点为P(-x,-y),5 错切变换 (SHEAR) (1) 沿x方向产生错切 x = x + y*tag() y = y (2) 沿y方向产生错切 x = x y = y +x * tag(),(x,y),(x,y),(x,y
3、),(x,y),Y,X,Y,X,1. 齐次坐标 齐次坐标就是一个n维矢量的(n+1)维矢量表示。 例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为： (H*x, H*y, H)。 二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格化的齐次坐标，即取H=1。 (x,y) 的规格化齐次坐标为 (x,y,1)。 齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。,二维图形变换的矩阵表示,齐次坐标的作用： 1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算实现图形变换，或者把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（
4、x*H, y*H, H)，令H等于0，,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,1. 恒等变换 2. 比例变换,3. 对称变换 关于X轴的对称变换 关于Y轴的对称变换,关于坐标原点的对称变换,5. 旋转变换 其矩阵表示为：,(x,y),(x,y),6. 平移变换,P(x,y),P(xy),m,n,X,Y,变换过程如下：,(m,n),(x,y),(x, y),(x1,y1),(x2,y2),m,n,1,2,3,(x,y),7. 绕任一点的旋转变换 假定该任一点为P(m,n),旋转角为,T1,T2,T3,T =T1 T2 T3 称为矩阵级联，也称复合变换。,复合变换及变换的模式,问题：如何实现复杂变换？ 关
5、于任意参照点的旋转变换,复合变换及变换的模式,复合变换及变换的模式,变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）,Translate2D(1,0); Rotate2D(45); House();,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,求变换矩阵是要明确变换模型 左乘 右乘 采用变换矩阵左乘的图形系统一般用堆栈实现 先调用的变换后执行，后调用的变换先执行,特别注意,三维几何变换 1. 三维变换矩阵 统一的二维变换矩阵： 那么，可否有统一的三维变换矩阵?,2. 三维基本变换 轴向比例变换 x = ax y = ey x y z 1=ax ey jz 1
6、 z = jz 矩阵表示：,全比例变换 当变换矩阵取下列值时： x y z 1T = x y z s=x/s y/s z/s 1 当s1, 沿三个轴向等比例缩小 当0s1, 沿三个轴向等比例放大 （轴向比例变换与全比例变换的关系）,对称变换 在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。 对称于XOY平面 x y z 1 = x y -z 1=x y z 1 对称于YOZ平面 x y z 1 = -x y z 1=x y z 1 对称于XOZ平面 x y z 1 = x -y z 1=x y z 1,那么，分别对称于X、Y、Z轴和坐标原点的变换矩阵是什
7、么？ 平移变换 是指空间上的立体从一个位置移动到另一个位置时，其形状大小均不发生改变的变换。 x y z 1 = x+dx y+dy z+dz 1 =,旋转变换 绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。 x= x y= cos(+) = y*cos- z*sin z= sin(+) = y*sin+z*cos,X,Y,Z,(x,y),(xy),Y,Z,O,O,(xy),(x,y),矩阵表示为：,绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。 x= sin(+) = x*cos + z*sin y= y z= cos(+) = z*cos-
8、 x*sin,X,Y,Z,(x,y),(xy),X,Z,O,O,矩阵表示为,绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。 x= cos(+) = x*cos - y*sin y= sin (+) = x*sin+ y*cos z= z,X,Y,Z,(x,y),(xy),X,Y,O,O,矩阵表示为：,组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。 假定空间任一直线的方向矢量分别为：(l,m,n) 并经过原点,(l,m,n),(x,y,z),(x,y,z),X,Y,Z,O,N,能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？ ON绕Z轴旋转2 到XOZ平面
9、上，然后再绕Y轴旋转1，即可与Z轴重合。,O,N,2,1,X,Y,Z,这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下： 1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合； 2）然后使点绕Z轴旋转角； 3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回 到原来的位置。 假设，绕Z轴的旋转-2矩阵为T1 绕Y轴的旋转-1矩阵为T2 绕Z轴的旋转矩阵为T3 绕Y轴的旋转1矩阵为T4 绕Z轴的旋转2矩阵为T5,则总体变换矩阵为： T = T1 T2 T3 T4 T5 由上推导可看出，只要能求出1 、2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。 由于矢量 （0 0 1）绕Y轴旋转1 ，再绕Z轴旋转2 即可与ON轴重合。
10、即：,l m n 1 = sin1 cos2 sin1sin2 cos1 1 l = sin1cos2 m= sin1sin2 n = cos1 从而通过上式即可得到1、2 的值。 问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如 何计算变换矩阵？,绕任意轴的旋转变换,基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,绕任意轴的旋转变换,（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点,T=,0 1 0 0,0 0 1 0,-X1 -Y1 -Z1 1,1 0 0 0,（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内,直线段L在YOZ平面上的投影
11、L L2= B2+ C2 Sin=B/L cos=C/L,绕任意轴的旋转变换,0 cos sin 0,0 -sin cos 0,0 0 0 1,1 0 0 0,Rx=,(3) 绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合) 由于绕x轴旋转时，x坐标不变,A,L,L,Sin =A/L cos =L/L,L2-A2= B2+ C2=L2,绕任意轴的旋转变换,0 1 0 0,-sin 0 cos 0,0 0 0 1,cos 0 sin 0,Ry=,-sin cos 0 0,0 0 1 0,0 0 0 1,cos sin 0 0,Rz=,(4)绕z轴旋转角,绕任意轴的旋转变换,(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于
12、XOZ平面内),sin 0 cos 0,0 0 0 1,Ry=,cos 0 -sin 0,0 1 0 0,(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线),0 sin cos 0,0 0 0 1,Rx=,1 0 0 0,0 cos -sin 0,绕任意轴的旋转变换,(7)平移使坐标原点返回到它原始位置,0 0 1 0,X1 y1 z1 1,T =,1 0 0 0,0 1 0 0,因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵,R=T.Rx.Ry.Rz.Ry.Rx.T,绕任意轴的旋转变换,作业,已知平面一点P(xp,yp)与直线L的方程ax+by+c=0,现P相对L作对称变换,写出对应的变换矩阵。 绕直线P1（0，1，0），P2（-1，0，1）旋转45度，求其复合变换的变换矩阵,
