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1、数学分析题库（1-22章）四计算题、解答题求下列极限 解：. .这是型，而故 原极限56 因， 故原极限.7 用洛必达法则8. 9. ; 解法1： 解法2：10 解因， （3分）故原式=求下列函数的导数 解 11 12 13 14 . 15 16 17 18 .19；20.求下列函数的高阶微分：设，求解 因为所以 所以 21. 解：22. 解： 令,两边对两边对求导有, 两边对求导有23. 求由参量方程所确定的函数的二阶导数解法1：由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 解法2：由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 24设, 试求.解 基本初等函数导数公式，有, 应用莱布尼兹
2、公式（）得. 25试求由摆线方程 所确定的函数的二阶导数.解 26 .求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为, 所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为. 27(2,1)(1,0)不存在递减，凹极小值递增，凹递增，凹极大值递减，凹28解 （1），故对任意正整数m，在连续.（2），故当时，在可导.（3）先计算的导函数.，由（2）知，于是当时，有，所以当时，在连续.29解 因为，故当时，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理.30证明 （1）对任何，有，故是极小值点.（2）当时，有，作数列，则，.即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点.并且，所以在内
3、的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件.又因为，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值.31答：能推出在内连续.证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续.由的任意性知，在内连续.32.试求函数在上的最值和极值.解 在闭区间上连续, 故必存在最大最小值. 令,得稳定点为. 又因 故在处不可导. 列表如下不存在00递减极小值递增极大值递减极小值递增所以和为极小值点, 极小值分别为和,为极大值点, 极大值为. 又在端点处有, 所以函数在处取最小值,在处取最大值. 33.求函数在上的最大最小值：解：令令解得函数在的稳定点为, 而， 所以函数在的最大值和最小值分别为 .34. 确定函数
4、 的凸性区间与拐点:解：令 解得， 当时，从而区间为函数的凹区间,当时，从而区间为函数的凸区间. 并且，所以为曲线的拐点.35.设,则是有理数列.点集非空有界,但在有理数集内无上确界.数列递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设,则是有理数列.点集有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖.38.39.令,则40.41.42.令,则有,43. 令,则有,.44.45.46.47.其中和式是函数在上的一个积分和,所以.48.于是.49.以平面截
5、椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为.于是椭球面的体积.50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为.51.,于是所求摆线的弧长为.52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为.53.因为.于是无穷积分收敛,其值为.54.因为于是无穷积分收敛,其值为.55.因为,从而级数的部分和为.于是该级数收敛,其和为.56.因为,且级数收敛,所以级数收敛.57.因为,由根式判别法知级数收敛.58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛.59. 因为,当时,于是.所以级数的部分和数列当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛;同法可证级数在上收敛.又因
6、为,级数发散, 收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛.60. 判断函数项级数在区间上的一致收敛性. 解 记. 则有 级数收敛; 对每个, ； 对 和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.61. , . 讨论函数列的一致收敛性.解 0, . | 0| . 可求得 . 函数列在区间上非一致收敛.62. 函数列 在上是否一致收敛？解：由于，故.当时，只要，就有，故在上有.于是函数列（8）在上的极限函数，又由于 ，所以函数列（8）在0，1上不一致收敛.63. 在R内是否一致收敛？解 显然有, 在点处取得极大值,. 由系2 , 不一致收敛.64. 函数列 在上是否一致收
7、敛？解 时, 只要, 就有. 因此, 在上有. , .于是, 在上有. 但由于, ,因此 , 该函数列在上不一致收敛.65. 求幂级数的收敛域 . 解 是缺项幂级数 . 收敛区间为. 时,通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.66. 计算积分, 精确到.解 .因此, .上式最后是Leibniz型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使,可取.故从第项到第项这前7 项之和达到要求的精度.于是 .67. 把函数展开成的幂级数.解, . 而 , .68. 求幂级数的和函数.解法一 收敛域为,设和函数为, 则有 .因此, =, .解法二 , .69. 展开函数.解 .70. 在指定区间
8、内把下列函数展开成傅里叶级数（i）（ii）解 （1）（i）函数及其周期延拓后的图象所示. 显然是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于.当时，有所以在区间上 （ii）函数及其周期延拓后的图象所示. 显然是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于.当时,.所以在区间上 .71. 设是以为周期的分段连续函数, 又设是奇函数且满足试求的Fourier系数的值，.解 由是奇函数，故是偶函数，再由，故有 . 作变换，则 . 所以, 72. 设以为周期，在区间内, 试求的Fourier级数展开式。解 由Fourier系数的计算公式， . 又满足Fourier级数收敛的Di
9、richlet条件， 故.73.设 ,求在内的以为周期的Fourier级数展开式.解 注意到是奇函数，故的Fourier系数 . 因此 . 由在内分段单调，连续，且 故在内 .74. 设是以为周期的连续函数,其Fourier系数为.试用表示函数的Fourier 系数解 由Fourier系数的计算公式， 75. 试求极限 解 . 76. 试求极限 解 由 . 77. 试求极限解 由于 , 又 ,所以 ， , 所以 . 78. 试讨论解 当点沿直线趋于原点时， . 当点沿抛物线线趋于原点时， . 因为二者不等，所以极限不存在. 79. 试求极限解 由 = .80. ,有连续的偏导数，求 解 令 则 81 . 求解 由 . 82. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。解 由于 ,在处 ， 所以, 切平面方程为 . 即 法线方程为 . 83. 求在处的泰勒公式.解 由 . 得. 84. 求函数的极值.解
