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1、仿射几何与北京高考解析几何试题 2016北京卷第19题的背景和拓展 我们知道,圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头,那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢?那些不能照搬的性质,又有什么样的变化形式?举个例子:圆有一个重要的性质“直径所对的圆周角为直角”。那么类似的,对于椭圆能得到什么相应的结论呢?设为椭圆的“直径”(即过中心的弦),为椭圆上一点(异于),仍垂直吗?会有什么关系?分析:设,则,又因为,所以,也就是说直线的斜率之积为定值。在2010年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容:在平面直角坐标系中,点与点关于原点对称,是动点,且直线与的斜率之积等于。求动点的轨迹方程。这里,实际上就是把
2、上面的问题反过来了。这些是简单的问题,对于圆的更复杂的性质,圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢?我们知道,对圆锥曲线的研究,思路的起点经常是圆,而圆里面的问题太丰富了,中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚,那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。本文简述仿射几何的几条基本理论,探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去,寻找高等数学观点下的圆锥曲线(包括圆)的一致性,并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。一、仿射几何的几条基本结论结论1: 仿射变换保持同素性. 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线.结论2:仿射变换保持结合性. 在直线上, 经过仿射变换后, 其对应点在直线的对应直
3、线上.结论3:两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。二、仿射几何与高考试题 结合2016年高考北京卷的解析几何试题,谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。 (一)问题及背景在平面几何中有下面的问题:已知圆的半径为1,垂直平分,为弧上的动点(且不与重合),则BAPCONMD(1)四边形的面积为定值;(2)为定值实际上,四边形的面积等于,所以上面的(1)(2)两个问题是等价的。这个问题的平面几何解法不难找,这里不细述了,下面我们给出一个借助高中三角公式的证明证明:所对的弧分别为, 所以所以所以,即由圆的半径为1,得所以所以即所以四边形的面积等于的面积(等于1),即四边形的面积为定值(也
4、即为定值)我们知道,椭圆经过仿射变换 后变为圆. 同样的, 圆也可以经过仿射变换变为椭圆. 我们可以从圆的某些性质导出椭圆的一些性质。 由于仿射变换保持同素性和结合性, 所以图1中的四边形经过变换后仍为四边形记为四边形. 又由前面提到的仿射几何中的推论, 我们知道两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变,即,四边形的面积也为定值.根据以上的分析,在椭圆里我们可以提出类似的问题,这就有了2016年高考数学北京卷(理科)的第19题:已知椭圆的离心率为,的面积为()求椭圆的方程;()设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点求证:为定值 (二)问题的拓展 2016高考数学北京卷的文科第19题与
5、理科19题是姊妹题, 具体如下: 已知椭圆过,两点 ()求椭圆的方程及离心率; ()设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点求证:四边形的面积为定值 在这个题的命制过程中,还给出了其他的一些方向,但慎重考虑后,我们做了一些取舍,这里一并和大家谈谈,和大家探讨。本题中, 我们把点限定在第三象限,但实际上点在其他象限时也有类似问题,比如:当点在第一象限的时候(且在椭圆上),仍然设交轴于点,交轴于点,其中,则可以证明是一个定值。证明的过程中,首先需要一个几何转化,即,接下来就和前面的问题没什么差别了。这个结果非常漂亮,但最后还是割爱了,为什么呢?我们放弃它,并不是因为这个几何转化
6、,我们甚至认为解析几何一定要考查几何的东西,但是这个题的几何转化的途径太单一了,几乎就是“华山一条路”,而一旦考生不能几何转化,将面临及其艰苦的运算,这不是北京高考题应该具备的特质。我们心目中的解析几何题应该是这样的:它首先应该是个几何问题,问题的提出应该有一个几何背景,中间解决的过程是代数的,从几何到代数的转化当然是需要的,但一般会给考生多一些途径,这个代数的方法也没有什么一定之规,套用中学教师的总结,“可以是设点,也可以是设直线”,比如今年的题就是这样,但最后还是回归到解决一个几何问题。一道好的解析几何试题里,几何应该是缘起,也是归宿,代数是解决这个几何问题的工具。 (三) 不同解法 在阅
7、卷过程中, 我们发现学生有很多好的解法, 在这里列举几种理科19题的解法, 供大家参考. 解法1: ()由()知, 设,则 当时, 直线的方程为 令,得,从而 直线的方程为 令,得,从而 所以 当时, 所以 综上,为定值 解法2:()联立椭圆与直线的方程得到点坐标为 联立椭圆与直线的方程得到点坐标为 因此 两式通分相减,得到 如果,则,即 因此,无论是否相等,总有从而 由直线的方程解得点坐标, 由直线的方程解得点坐标, 为定值解法3:() 由()知, 当直线的斜率存在时,设其方程为, 令得,从而 由 得, 所以, 直线方程为, 令得,从而 所以 当直线的斜率不存在时,此时, 所以 综上所述为定
8、值参考文献1朱德祥,朱维宗高等几何M 北京:高等教育出版社,20072梅向明,刘增贤,王汇淳,王智秋高等几何M 北京:高等教育出版社,20073. 王雅琪. 坐标一桥飞架 数形天堑变通途J数学通报,2016,3:46-484. 王雅琪. 高观点下的北京高考解析几何试题J数学通报,2016,11:28-305. 李红春. 仿射变换下一类椭圆问题的简单解法J中学数学月刊,2012,12:40-43中部石漠化综合防治水土保持区,要加强林草植被的保护与恢复,加强山洪地质灾害防治,加强石漠化综合治理,遏制石漠化蔓延,增强区域水土保持能力;东部生物多样性保护水土保持区,要加强自然保护区建设和流域水土流失区综合治理,切实保护生物多样性和特有自然景观,增强森林生态系统功能。