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1、线性代数总复习,一、行列式 二、矩阵 三、向量组 四、线性方程组的解 五、特征值与特征向量,第一章教学要求：,1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。,2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。,3理解克莱姆法则及其应用。,n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法： 1利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法,行列式的计算,第二、三章教学要求：,1理解矩阵的概念。,2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。,3掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。,4理解逆矩
2、阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。,5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。,6了解分块矩阵及其运算。,1了解n维向量的概念。,2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。,3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。,4 了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与矩阵秩的关系。,重要结论2,重要结论1,第四章教学要求：,5理解齐次线性方
3、程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。,6理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。,3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。,4掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。,Ax=b,r(A)=r(A,b)=n 有唯一解,r(A) r(A,b)无解,齐次方程的基础解系,克拉默法则，,r(A)=r(A,b)n 有无穷多解,初等变换，,非齐次方程的一个特解,非齐次方程的通解,b=0 b0,step1. 系数矩阵初等行变换 化为行阶梯形矩阵,step2. 讨论方程组的解,step3.（无穷解时） 进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵,s
4、tep4. 选择自由未知量，基本 未知量,step5. 写出同解方程,step6. 求出基础解系,step7. 写出通解,怎样选择？,怎样求？,齐 次 线 性 方 程 组 求 解 过 程,step1. 增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵,step2. 讨论方程组的解,step3.（无穷解时） 进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵,step5. 求出非齐次线性方程组的特解,step7. 求出齐次线性方程组的通解,step8. 写出非齐次线性方程组的通解,非 齐 次 线 性 方 程 组 求 解 过 程,step4. 写出非齐次线性方程组的同解方程组,step6. 写出齐次线性方
5、程组的同解方程组,1理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。,2了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相 似对角化的充分必要条件。,3掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法。,4了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。,第五章教学要求：,向量组 a1 , a2 , am 线性无关， 而添加 形成的向量组 a1 , a2 , am , 线性相关， 则 可由 a1 , a2 , am 线性表示，且表示唯一。,结论1结束,计算问题,1）怎样求矩阵 A 的秩？- 行、列,则 秩（A） 行阶梯形矩阵中非零行的行数,最常用,2）怎样求
6、向量组 的秩？ - 行、列, 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩,3）怎样判断向量组 的相(无)关性？ - 行、列,4）怎样求向量组 的一个极大无关组？ - 行, 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 则 B 中各首非零元所在列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。,5）怎样利用 4) 中求出的极大无关组表示其余向量？ - 行,“关于矩阵的秩”,怎样的情况下矩阵的秩不变？,初等变换不改变矩阵的秩,矩阵运算对秩的影响？, r ( A+（）B ) r ( A) + r (B) ; r ( AB ) min r (
7、A ) ，r ( B ) .,行秩列秩矩阵的秩,方阵的秩与行列式的关系,设A是 n 阶方阵,返回,(2) 方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.,(3) 设 是 n 阶方阵 A 的一个 k 重特征值，则 A 的属于特征值 的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于 k 个。亦即齐次线性方程组 的基础解系包含的向量个数最多有 k 个。,求正交矩阵Q的步骤,(1)求出A的特征多项式 的全部不同的根 ，即为A的全部不同的特征值；,(2)对每个特征值 ，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系,(3) 将 正交化、单位化，得到一个正交单位向量组 是属于特征值 的一组线性无关的量；,(4)
8、将对应于全部不同特征值 的线性 无关特征向量 作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵亦即使得Q-1AQ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值,结束,重要的定理或性质,转置矩阵的运算性质,重要的定理或性质,一、行列式,1、二阶三阶行列式的计算,2、n阶行列式的计算,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1) 利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质
9、 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例 计算行列式,解,(2) 利用行列式展开计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,例,二、矩阵,1、矩阵的逆的求法,（1）公式法（伴随法）,（2）初等变换法,行的初等变换,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,（公式法）,故,（初等变换法）,即,初等行变换,2、矩阵的秩,矩阵秩的求法,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例,解,三、向量之间的关系,1、线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定义,存在矩阵 ，,使得,判定,线性表示
10、,存在矩阵 ，,使得,解,阵,有相同的秩。,下面把矩阵 化为行最简形：,法一,向量 可由向量组 线性表示。,从而,其中 为任意常数。,法二,设,即,也即,其中 为任意常数。,解得其通解为,故向量 可由向量组 线性表示，且,其中 为任意常数。,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,2、线性相关性,定理,判定,例1,解,3、最大无关组及向量组的秩,设有向量组 ，,满足下面两个条件：,如果能在 中选出 个向量,（1）向量组 线性无关；,线性表示。,（2）向量组 中的每一个向量都能由向量组,则称向量组 为向量组 的最大无关组。,最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。,向量组的秩的求法,
11、最大无关组的求法,且 列向量组的一个最大无关组为,因此,四、线性方程组的解,定理,元线性方程组,1),有唯一解,2),无解,3),无穷多解,定理,元齐次线性方程组 有非零解,则齐次线性,其中 为任意实数。,非齐次线性方程组的通解,例 求解非齐次方程组,解：,令,则,为任意常数）,法1：,法2：,令,得,又原方程组对应的齐次方程组的通解是,令,得基础解系,所以原方程组的通解是,为任意常数）,五、特征值与特征向量,（1）如何求 的特征值？,解特征方程,特征方程的根即为矩阵 的特征值。,（2）如何求属于特征值 的特征向量？,解齐次线性方程组,其非零解即为属于特征值 的特征向量,1、特征值与特征向量的求法,解,得基础解系为：,使得,则,若存在可逆矩阵 ，,（1） 为矩阵 的特征值,（2） 为对应于特征值 的特征向量。,2、方阵的对角化,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,3、实对称矩阵的对角化,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,2.,1.,具体步骤为：,解：,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,令,再单位化：令,当 时，齐次线性方程组为,单位化得,得正交矩阵,有,
