函数逼近与拟合法资料

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1、第五讲 函数逼近与拟合法,内容提要,引言 函数逼近 傅里叶逼近 最小二乘法拟合 最小二乘法 多元线性拟合 非线性拟合 MATLAB的拟合函数 小结,2019/9/26,2,例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:,纤维强度随拉伸倍数增加而增加。,1、引言,2019/9/26,3,24个点大致分布在一条直线附近。,故可认为强度y与拉伸倍数x的主要关系应为线性关系：,必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。,2019/9/26,4,2019/9/26,5,在一个包含有很多数据点的区间内构造插值函数，必然使用高次多项式。而高次

2、插值多项式是不稳定的。 由于数据本身存在误差，利用插值方法得到的插值多项式必然保留了所有的测量误差，导致插值函数与物理规律差异较大。,实验数据的拟合可以克服插值方法在处理这类问题中存在的缺点。,对这样的数据采用上一讲介绍的插值方法近似求描述物理规律的解析函数，必然存在下列缺点：,2019/9/26,6,实验数据拟合的基本思想：,使近似函数尽量靠近数据点，而不要求近似函数一定通过所有数据点。,实验数据拟合可以在一定精度内找出反映物理量间客观函数关系的解析式。如果实验数据存在误差，这种做法可以部分抵消原来数据中的测量误差，从而使所得到的拟合函数更好地反映物理规律。,2019/9/26,7,利用拟合

3、可以解决两类物理问题：,物理规律已知，但描述物理规律的解析式中某些系数未知，可以利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，求出这些系数的近似值。 物理规律未知，利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，得到一个近似的解析式，用于描述物理规律。,拟合函数尽量靠近数据点如何实现？,2019/9/26,8,2、函数逼近,在区间a,b上已知一连续函数f(x)，如果该函数表达式太过于复杂不利于进行计算机运算，就会利用一个简单函数去近似f(x)，这就是函数逼近问题。 如果f(x)的表达式未知，只知道描述f(x)的一条曲线，这就是曲线拟合问题。 和插值问题不同，逼近和拟合并不要求逼近函数

4、在已知点上的值一定等于原函数的函数值，而是按照某种标准使得二者的差值达到最小。,2019/9/26,9,逼近方法： Chebyshev(切比雪夫)逼近：连续函数，多项式。 F= Chebyshev(y,k,x0) Legendre(勒让德)逼近：多项式。 F= Legendre(y,k,x0) Pade(帕德)逼近：有理分式。 F= Pade(y,k,x0) 傅里叶逼近：周期函数，三角多项式。 连续周期函数，A0,A,B=FZZ(func,T,n) 离散周期函数，c=DFF(f,N),2019/9/26,10,Chebyshev(切比雪夫)逼近,当一个连续函数定义在区间-1，1上时，可以展开成

5、为切比雪夫级数 。,2019/9/26,11,实际应用中，根据精度要求来截取有限项数,function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y %逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x坐标：x0 %求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处 的逼近值：f syms t; T(1:k+1) = t; T(1) = 1; T(2) = t; c(1:k+1) = 0.0; c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y),sym(t)*T(1)/sqrt(1-t2),t,-1,1)/pi; c(2)=2*int(subs(y,findsym(

6、sym(y),sym(t)*T(2)/sqrt(1-t2),t,-1,1)/pi; f = c(1)+c(2)*t; ,for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y),sym(t)*T(i)/sqrt(1-t2),t,-1,1)/2; f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i=k+1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); else f = vpa(f,6); end end end,2019/9/26,12,2019/9/26,13,

7、例：用切比雪夫公式（取6项）逼近函数1/（2-x）， 并求当x=0.5时的函数值,函数准确值为1/（2-0.5）=0.6667，可见逼近结果比较接近,离散周期函数的傅里叶逼近,function c=DFF(f,N) %用傅里叶级数逼近已知的离散周期函数 %离散数据点：f %展开项数：N %离散傅里叶逼近系数：c c(1:N)=0; for(m=1:N) for(n=1:N) c(m)=c(m)+f(n)*exp(-i*m*n*2*pi/N); end c(m)=c(m)/N; end,2019/9/26,14,例, y=0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589

8、-0.2794; c=DFF(y,6) c = Columns 1 through 4 -0.0926 - 0.5003i -0.0260 - 0.0194i -0.0251 + 0.0000i -0.0260 + 0.0194i Columns 5 through 6 -0.0926 + 0.5003i -0.0172 - 0.0000i,2019/9/26,15,3.1 最小二乘法,首先，从一个简单的例子来讨论一元线性拟合与最小二乘法问题。,为了具有一般性，把上式改写为：,通过实验测量， 求金属铜电阻温度系数，金属电阻与温度关系如下：,3、最小二乘法拟合,2019/9/26,16,通过实验

9、测得金属铜温度x与电阻y数据如下：,2019/9/26,17,设一元线性拟合函数为：,将实验数据代入拟合函数，得到方程组,21个线性方程,矛盾方程组,2019/9/26,18,由于以上矛盾方程组不能确定一组唯一的A0和A1，也就是说，由方程组可求得A0和A1的多组解，那么究竟哪一组解最接近客观真实值呢 ?,按照拟合的思想，应当使在每一个测量点拟合函数的函数值尽量接近测量值，这样的拟合函数才是满足要求的，即：,定义偏差：,2019/9/26,19,按照拟合的思想，必须在每一个测量点的偏差都很小，如何达到这一要求？,但是由于偏差有正有负，求和时可能互相抵消，这并不能保证在每一个测量点的偏差都很小。

10、,方法一：偏差之和最小,尽管这种方法可以保证在每一个测量点的偏差都很小，但这种方法数学处理比较困难。,方法二：偏差绝对值之和最小,2019/9/26,20,这种方法既可以保证在每一个测量点的偏差都很小，又方便数学处理，所以这种方法是可行的。,方法三：偏差的平方和最小-最小二乘法,2019/9/26,21,残差向量的各分量平方和记为：,最小二乘法：,以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数的方法。,令,在回归分析中称为残差,(i=1,2,m),残差向量：,2019/9/26,22,由多元函数求极值的必要条件，有,可得,即,2019/9/26,23,上式为由n+1个方程组成的方程组，称正规方程组。,

11、由,得,即,2019/9/26,24,引入记号,则由内积的概念可知,显然内积满足交换律,正规方程组便可化为,2019/9/26,25,将其表示成矩阵形式：,其系数矩阵为对称阵。,所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即,根据Crame法则,正规方程组有唯一解，称其为最小二乘解。,2019/9/26,26,2019/9/26,27,function A,b,p=Least_square(wfun,phifun,x,y) % 最小二乘拟合 % 输入参数： % -wfun：权系数 % -phifun：拟合基函数 % -x,y：已知数据的x,y坐标 % -n：数据拟合的次数，默认值为1 % 输出参数： %

12、-A：法方程组的系数矩阵 % -b：法方程组的右端向量 % -p：最小二乘拟合系数 phifun=phifun(x); n=size(phifun,1); A=zeros(n); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=sum(wfun(i).*phifun(i,:).*phifun(j,:); end b(i)=sum(wfun(i).*phifun(i,:).*y); end b=b; a=Ab;p= a;,MATLAB实现,2019/9/26,28,x=0:0.5:3; % x轴数据 y=0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645

13、; % y轴数据 wfun=ones(1,6); % 权系数 phifun=(x)ones(size(x);x;x.2;cos(x);exp(x);sin(x); % 拟合基函数 A,b,p=Least_square(wfun,phifun,x,y) % 最小二乘拟合求解 syms x digits(4) % 设定精度 Phifun=1;x;x.2;cos(x);exp(x);sin(x); y=vpa(p*Phifun) % 最小二乘拟合解函数,例：已知一组测量数据如下，并给定一组拟合基函数 y=1,y=x,y=x2,y=cosx,y=ex,y=sinx 试求其最小二乘拟合函数,p = 0.

14、3828 0.4070 -0.3901 -0.4598 0.0765 0.5653,2019/9/26,29,实现流程图,function a,b=LZXEC(x,y) %离散试验数据点的线性 最小二乘拟合 %试验数据点的x坐标向量：X %试验数据点的y坐标向量：Y %拟合的一次项系数：a %拟合的常数项：b if(length(x) = length(y) n = length(x); else disp(x和y的维数不相等！); return; end %维数检查,A = zeros(2,2); A(2,2) = n; B = zeros(2,1); for i=1:n A(1,1) =

15、A(1,1) + x(i)*x(i); A(1,2) = A(1,2) + x(i); B(1,1) = B(1,1) + x(i)*y(i); B(2,1) = B(2,1) + y(i); end A(2,1) = A(1,2); s = AB; a = s(1); b = s(2);,2019/9/26,30,例, x=1:5; y=1.5 1.8 4 3.4 5.7; a,b=LZXEC(x,y) a = 1.0000 b = 0.2800,2019/9/26,31,例. 回到引言的实例，从散点图可以看出，,纤维强度和拉伸倍数之间近似线性关系，故可选取线性函数,为拟合函数建立正规方程组

16、，其基函数为,根据内积公式，可得,正规方程组为,2019/9/26,32,解得,残差平方和：,拟合曲线与散点 的关系如右图:,即为所求的最小二乘解。,故,2019/9/26,33,例：金属铜温度x与电阻y，线性拟合matlab程序,2019/9/26,34,2019/9/26,35,线性拟合在物理实验中应用十分广泛，例如弹性介质杨氏模量测量中应变与应力的关系，电阻电路中电流与电压的关系等。,有些物理量之间在一定范围内是线性关系，也可使用线性拟合的方法，只是要注意其适用范围。,还有一种情况是量物理量之间并不存在线性关系，但经过适当变换后可转化为线性关系。,2019/9/26,36,常用的线性变换,2019/9/26,37,2019/9/26,38,某化学反应，根据实验得到生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度与时间t的最小二乘法,双曲线型：1/y=a+b/