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1、湖北省黄冈中学2019届高三第二次模拟考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】，.2. 下列函数中与函数（是自然对数的底数）的定义域和值域都相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】定义域，值域均为，只有D符合题意.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 .4. 抛物线（）的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若为直角三角形，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B
2、【解析】，为等腰三角形，则，.5. 执行如右图所示的程序框图，若输出的，则输入的值可以为（ ）A. 6 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】C6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体为组合体，由半个圆锥与球组成.7. 设为椭圆上任意一点，点满足 ，则点的轨迹方程为（ ）A BCD【答案】B【解析】由椭圆方程，得，则，为椭圆两焦点，由题意 ，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，其方程为8. 已知正三棱柱，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】将三棱柱补成平行六面体，则（或其补角）为异面直线所成的角，由
3、余弦定理得.9. 的内角的对边为，若的面积为，周长为6，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ，.，代入，得，选A.10. 数列满足，则数列的前2019项的和为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知，累加得， ，则.11. 计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一.计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或1，分别通过电路的断或通来实现.“字节（Byte）”是更大的存储单位，1 Byte=8 bit，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111（2）共256种不同的信息.将这256
4、个二进制数中，恰有相邻三位数是1,其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为A. 378 B. 441 C. 742 D. 889【答案】B【解析】符合题意的二进制数为111,1110,11100，11100000共6个，化为十进制数为7,14,28，组成首项为7，公比为2的等比数列，共6项，.12. 已知点是焦点在轴上的椭圆的上顶点，若椭圆上恰有两点到的距离最大，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】，.设是椭圆上任一点，则， ，对称轴，当时，最大，这样的点唯一，为下顶点.时，最大，这样的点有两个，符合题意，由，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
5、13. 已知，若，则_.【答案】2或.14已知函数（）的部分图象如图所示，其中，则_【答案】.【解析】.15. 一球筐中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有_. 若，则乙有必赢的策略 若，则甲有必赢的策略 若，则甲有必赢的策略【答案】【解析】当球筐中4个球时，后抓球的赢.故正确；时，甲抓2个，袋中剩4球，甲赢.正确.时，甲先抓1球，当乙抓1球时，甲再抓3球，当乙抓2球时，甲再抓2球，当乙抓3球时，甲再抓1球，这时还有4个球，后抓球的赢.正确.16. 设函数.若恒成立，则实数的取值范围是_.【答
6、案】【解析】定义域.时，由，当时，不等式不成立.时，不等式恒成立；时，由恒成立，设，在上递减，且，时，递增，时，递减，则综上，.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正项等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）若是递减数列，记的前项和为，求，并用表示.解：（1）或 6分（2）是递减数列，. 12分18. 如图所示，在四棱锥中，底面时直角梯形， 为等边三角形，平面平面，是的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.解：（1）取的中点，连，设交于，在,，中，即平面平面，交线为，,则平面，由平面，. 5分（2）设点到平面的距离为，点到平面的距离
7、为，由（1），平面，是的中点.则 6分其中， ， 7分由（1）平面， 8分在中，在中，由余弦定理求得, 10分=, 代入，得. 12分19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表质量指标Y频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在内的概率；（3）已知该厂产
8、品的维护费用为300元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 解：（1） 指标Y的平均值 4分（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在内的有3件，记为；指标Y在内的有2件，记为；指标Y在内的有1件，记为 从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：、 其中，指标Y都在内的基本事件有3个：所以由古典概型可
9、知，2件产品的指标Y都在内的概率为8分（3）不妨设每件产品的售价为元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为元其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为元； 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出元，平均每件产品的消费费用元 所以该服务值得消费者购买 12分 20. 已知,为椭圆（）上两点，过点且斜率为（）的两条直线与椭圆的交点分别为.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若四边形为平行四边形，求的值.解：（1） 4分（2）由，设直线代入，得，设， 6分整理
10、得，代入恒成立. 8分由,，得，.时，直线过，舍去.时，代入，或，直线与椭圆的二交点， 12分 21. 已知 （1）时，求在处的切线方程；（2）若的最小值为，求实数的值.解：（1）时，在处的切线方程为：即. 4分（2），在区间上单调递增，在区间上单调递增，存在唯一的，使得，即 6分函数在上单调递增，单调递减；时，单调递增， 8分，显然是方程的解，又是单调减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入 式得，所求实数的值为. 12分请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程 (本小题满分10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），以坐标原点
11、为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为.（1）求的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为,点的极坐标为则,，,，的极坐标方程为 5分（2）由题设知,当时，取得最小值为 10分23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数 （）（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）即，平方整理：则为方程的两根，得，此时. 5分（2），不等式恒成立，则，当时，解得或当时，解得综上：的取值范围是. 10分
