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1、,第十四章 达朗贝尔原理（动静法）,理论力学,141 惯性力 质点的达朗贝尔原理 142 质点系的达朗贝尔原理 143 刚体惯性力系的简化 144 绕定轴转动刚体的轴承动约束力 *达朗伯原理的应用,第十四章 达朗贝尔原理,本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动力学问题从形式上转化为静力学问题，并利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。这种解答动力学问题的方法，也称动静法。,14-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理,如图，人用手推车时，车在加速运动过程中，人会感到受到力的作用，这个力是由于车具有惯性，力图保持原来的运动状态对人产生的反抗力，称为惯性力。,如下图质点m 的运动，
2、由牛顿第二定律：,FI 为惯性力，上式为质点的达朗贝尔原理。,从形式上看作用在质点上的主动力、约束力和虚加惯性力组成平衡力系，这只不过是处理动力学问题的一种方法，质点并未处于平衡状态。,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度q ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力,解：,由动静法, 有,解得,q 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， q 角也不变。只要测出q 角，就能知道列车的加速度 。这就是摆式加速度计的原理。,14-2 质点系的达朗贝尔原理,该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯性力在形式
3、上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有,把作用于I质点的所有力分为外力的合力 ，内力的合力 ，则,上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即,由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有,则上式可改写为,上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。,另外很显然有
4、,对平面任意力系：,对于空间任意力系：,实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。,用动静法求解动力学问题时，,对质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，给解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,14-3 刚体惯性力系的简化,以FIR表示惯性力系的主矢，则,该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移、定轴转动与平面运动的刚体。主矢的大小和方向与简化中心的位置，主矩一般与简化中心的位置无关，下面对刚体做平移、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的主矩进行讨论。,1、刚
5、体作平移,若选质心C为简化中心，则 rC=0，有：,故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,作平移时，刚体任一点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，如图，以O为简化中心，有,2、定轴转动刚体,如图示定轴转动刚体，考虑质点i，以O为简化中。有,则惯性力系对x轴的矩为：,分别称为对z 轴的惯性积，则惯性力系对x 轴的矩为,同理惯性力系对y轴的矩为,惯性力系对z轴的矩为,则惯性力系简化的主矩为,结论:当刚体有质量对称平面且绕垂直与此对称平面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称平面内的一个力和一个力偶,这个力等于刚体质量
6、与质心的加速度的乘积,方向与加速度方向相反,作用线通过转轴;这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反.,讨论：, 刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。, 刚体作匀速转动，且转轴过质心，则,工程中的刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对称平面内的平面运动。如图，以质心C为简化中心，惯性力系可简化为,3、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）,结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的
7、方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角角速度的乘积，转向与角加速度相反。,对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：,实质上即是刚体平面运动微分方程：,例2 均质细杆支承如图所示。已知杆长为l，重为P，斜面倾角 。若杆与水平面交角 瞬时，A端的加速度为 ，杆的角速度为零。试求此瞬时杆上惯性力系向点O简化的结果。,解:,杆AB作平面运动，可将惯性力系向质心C简化，故需求得质心C的加速度 ，以杆端点A为基点，则,上式中 方向如图所示,角加速度a的计算，以杆端点A为基点，B为动点,因此得此杆惯性力系得主矢为,式中,惯性力系向质心简化得主矩为,方向如图所示。,再
8、向O点简化，主矢不变,主矩为,例3 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,选杆AB为研究对象 虚加惯性力系：,解：,根据动静法，有,例4 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,O,取轮为研究对象 虚加惯性力系：,解：,O,由动静法，得：,要保证车轮不滑动， 必须 FSf FN = f (P+F2),Mmax的
9、值为上式右端的值。,O,即,14-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,如图，以O为简化中心，所有主动力和惯性力系向该点简化，形成一空间任意“平衡力系”，列平衡方程,由上述5个方程解得轴承的全约束反力为,这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的轴承约束力称为动约束力，要使之为零，必须有,即要使轴承动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。,结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。 如果刚体对通过某点的轴z的惯性积Jxz=Jyz=0 等于零，称该轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴成为中心惯性主
10、轴。则上述结论可表达为：避免出现轴承动约束力的条件为是，刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。,由前面所得，即有,所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性积等于零。,例5 质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡： （a) (b)、 (d),动平衡： ( a),动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,设匀质转子重 P，质心 C 到转轴的距离是 e，转子以匀角速度 绕水平轴转动， AO =
11、 a ，OB = b (图 a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。,例6,解:,轴 Oz 是转子在点 O 的主轴之一。可见惯性力对点 O 的主矩在垂直于 Oz的平面上两轴的投影 M ICx 和 MICy 恒等于零。又 a = 0，这样 MICz 也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O 的一个力 F IC ，大小等于,方向沿 OC。当质心 C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。,根据动静法写出动态平衡方程,由式 (1) 和 (2) 解得,两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相等而方向相反。,如图a所示。涡轮轮盘由于轴孔不正，装在轴上
12、时，轴与轮盘面的垂线Ox 成交角g =1。已知轮盘质量为m =20 kg，半径R=200 mm，厚度h=20 mm，重心O在转轴上。设轮盘为均质圆盘，它到两端轴承的距离OA=OB=0.5 m，轴作匀速转动，n=12 000 rmin1。求轴承的附加动约束力。,例7,取固结于涡轮盘上的坐标系Oxyz如图所示，以轮盘和轴为研究对象。,解：,在圆盘上加惯性力，向中心点O简化结果为,作用于研究对象的主动力有通过重心O的重力， 约束力有FAx ， FAy，FBx ，FBy 。,因为圆盘上各点的y坐标对于z轴是对称的，因此,为计算 Jxz ，作出圆盘的中心惯性主轴O以及与之垂直的轴Ox，O，并设在图示瞬时
13、轴与y轴重合。,由图（b）可见：,因轴是轮盘的对称轴，有 。,式中r和r分别是质点到轴和轴的垂直距离，如图(c)所示。,或,又因,由转动惯量定义有,即J和J分别是圆盘对于轴和轴的转动惯量。有,于是,当 时， 。 于是,此例轴承静约束力只有98 N，可见附加动约束力远比静约束力大。,求得轴承附加动约束力如下：,根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题
14、中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,达朗贝尔原理的应用,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。,注 的方向及转向如已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。,例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径
15、为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：,用达朗伯原理求解,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式 得：,例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,解：用达朗贝尔原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIA如图示。,列出动静方程：,运动学关系： ，,将MI，FI，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,代入(2)、(3)、(5)式，得：,例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为q ，试求OA = s 时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。,解：(1) 用动能定理求速度，加速度 圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：,P,主动力的功：,由动能定理 得,对
