【2017年整理】多面体欧拉公式(1)

《【2017年整理】多面体欧拉公式(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】多面体欧拉公式(1)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）教学目标(一) 教学知识点1简单多面体的 V、E、F 关系的发现2欧拉公式的猜想3欧拉公式的证明(二) 能力训练要求1使学生能通过观察具体简单多面体的 V、E、F 从中寻找规律2使学生能通过进一步观察验证所得的规律3使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质4使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想5使学生了解欧拉公式的一种证明思路(三) 德育渗透目标1通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求2培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力教学重点 欧拉公式的发现教学难点使

2、学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法教学方法指导学生自学法首先通过问题 1 利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体 V、E、F 关系的感性认识并从中寻找规律；问题 2 让学生作进一步观察、验证得出规律；问题 3 让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题 4 让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明以上 4 个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法教具准备投影片三张：第一张：课本 P56 的问题 1 及表 1(记作 991 A)第二张：课本 P57 的问题 2 及表 2(记作9

3、91 B)第三张：课本 P57 的问题 3 及 P58 的问题 4(记作991 C)教学过程课题导入瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18 世纪所有的数学分支比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如 f(x)表示函数，e 表示自然对数的底，a、b、c 表示ABC 的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等其中欧拉公式的一个特殊公式 ei1 0，将数学上的 5 个常数 0、1、i、e、 联在一起；再如就是多面体的欧拉定理 V-EF2，V、 E、F 分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学

4、大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流讲授新课师我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数 V、面数 F、棱数 E 列出表，请大家观察后填写表 1(打出投影片991 A)(学生观察，数它们的顶点数 V、面数 F、棱数 E，填入表 1)师好，大家填的快速而准确，继续观察表 1 的各组数据，找出顶点数 V、面数 F 及棱数 E 的关系如何？(学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问)师表 1 中多面体的面数 F 都随顶点数目 V 的增大而增大吗？生不一定师请举例说明生如八面体和立方体

5、的顶点数由 6 增大到 8，而面数由 8 减小到 6师此时棱的数目呢？生棱数都是一样的师所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言生当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律师举例说明生甲如图中(1)和(2) 的棱数由 6 增大到 12，面数由 4 增大到 6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由 4 增大到 8师生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？生乙顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的师请试说说你归纳出来的规律生乙我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加

6、而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加师生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？(可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导)师上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数面数即 E 与 VF 是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系生(积极验证，得出)VF-E2师以上同学们得到的 VF-E2 这个关系式是由表 1 中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证生(许多同学可能举出前面学过的图形) 四棱锥、五棱锥、六棱柱等(教师应启发学生展开想象，举出更多的例子)

7、生一个三棱锥截去含 3 条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等师好，同学们现在想象，例如：n 棱锥在它的 n 边形面上增加一个“屋顶”或截去含 n 条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？生所得的多面体的棱数 E 为 3n 条，顶点数 V 为 2n 个，面数 F 为 2n 个，因 2n(2n)-3n2，故满足 VF-E2 这个关系式师请继续来观察一些其他图形的情况(打出投影片991 B)请同学们观察后，将所得数据填入表 2 中(学生观察，数它们的顶点数 V、面数 F、棱数 E，并填入表 2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完) 师 观 察 你 们

8、 的 数 据 ， 请 验 证 这 些 图 形 是 否 符 合 前 面 找 出 的 规 律 吗 ？ 其 中 哪 些 图 形 符 合 ？生(1) 符合，(2)、(3)不符合师一起来设想问题 1 和问题 2 中的图形在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？(打出投影片991 C)生问题 1 中的(1)(5)和问题 2 中的(1)图形表面经过连续变形能变为一个球面师请同学们继续设想问题 2 中(2)(3) 在连续变形中，其表面最后

9、将变成什么图形？生问题 2 中第(2)个图形，表面经过连续变形能变为环面；问题 2 中第(3) 个图形，表面经过连续变形能变为两个对接球面师像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？生棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体师至此，在问题 1、2、3 的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？(有了前面积极地认真解决了问题 1、2、3 后学生不难归纳出)生简单多面体的顶点数 V、面数 F 的和与棱数 E 之间存在规律 VF-E 2师我们将它叫做欧拉公式，以上 3 个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现 VF-E 2

10、的过程那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本 P58 的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想(学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理)课堂练习课本 P61 练习 1、21用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式解：在三棱柱中：V6，F5，E 9，65-92，VF-E 2。在四棱锥中：V5，F5，E 8，55-82，VF-E 2。2一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数 V 和面数 F 有 F2V-4 的关系解：VF-E2，又 E 23F，VF- 230，F 2V-4。课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式 VF-E 2 的过程；

11、体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决课后作业( 一)课本 P61 习题 991、2(二)1预习内容预习课本 P59 的问题 52预习提纲(1)请尝试叙述欧拉公式的证明思路(2)如何用欧拉公式解决“有没有棱数是 7 的简单多面体？”(3)为什么正多面体只有五种呢？板书设计991研究性课题：多面体欧拉公式的发现(一)欧拉公式的发现过程：问题 1：观察，寻找规律问题 2：进一步观察，验证规律问题 3：归纳，得出猜想问题 4：了解欧拉公式证明思路练习：(学生板演)12小结备课资料

12、一、在教学欧拉公式时应注意些什么？(1)本节课“多面体欧拉公式的发现”，采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点，教学中，教师应充分利用其教学价值这个课题的重要性不在于定理本身及它的应用，而在于定理的发现及证明因此，研究的过程也是体验数学大师是如何运用数学思想方法的过程(2)研究这个课题时，应先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点、棱、面的数目列出表格，让学生观察发现其中的规律后，再举更多的例子验证进而猜想并验证结论(3)教学中，应适当介绍数学家的业绩，增加学生对数学史的了解，学习数学家的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对数学，对科学的热爱和对理想的追求(4)由于这

13、是一个研究性的课题，学生是研究的主体，所以，在活动中可以让学生充分展开自由的想象，热烈的讨论，相互进行数学交流，教师在进行适当引导的同时，应小心地呵护学生思维的闪光点，通过这个过程的活动进一步培养学生的创新意识二、欧拉公式的证明欧拉公式 VF-E2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点下面，介绍另两种思维方法供参考证法一：(1)假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时 V、E 不变，只是 F 少 1

14、，于是即证在网络中 V-EF1(2)在网络中的多边形边数若大于 3，由于每增加一条对角线，则 E、F 各加上 1，V-E F 不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络(3) 边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则 V 不变，E、F 各减少 1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则 F、V 各减少 1，E 减少 2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉(如图) (4)最后剩下一个三角形，显然满足 V-EF1，从而在凸多面体中，V-E F2证法二：设 F 个面分别为 n1，n 2， 边形，则所有面角总和a(n 1-2)(n 2-2)( -2) (n 1n

15、 2 F)-2F2E -2F如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为 n 边形，可得到一个由 n 边形围成的网络，内部有 V-n个点则a(n-2) (n-2) ( V-n)2( n-2)2( V-n)2由、易得我们所得到的式子三、欧拉公式的简单应用举例例 1正二十面体的棱长为 a，连结相对顶点的对角线为 b，求它的体积解：连结正二十面体的中心与各顶点的线段，将正二十面体分成二十个相等的正三棱锥，这个正三棱锥的侧棱长为 2b，底面半径为 3a，由侧棱长、高、底面半径所组成的直角三角形，求出高 h22)3()bV 正二十面体 20V 正三棱锥 201 4a2224365)(aba例 2简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有 3 条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数解：设面数为 F，顶点数为 V，棱数为 E每个面上有 5 条边，每两边合为一条棱E 2，又每个顶点处有 3 条棱，每 2 个顶点间只有 1 条棱EV，V5F又由欧拉