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1、1多面体的欧拉公式球 多面体的欧拉公式： 一重点、难点提示 1多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体一个多面体至少有四个面 2正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体 正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形 3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为 V，面数为
2、 F，棱数为 E，那么 V+F-E=2 二考点指要 理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算 球： 一重点、难点提示 1球面的概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径 球面也可以看作与定点(圆心) 的距离等于定长(半径) 的所有点的集合，如果一个球的球心为 O，我们可以把这个球记作球 O 2球的概念 球面所围成的几何体叫做球体，简称球 3球的截面及其性质 用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质： (1)球心与截面圆心的连线垂
3、直于截面； (2)球心到截面的距离 d 与球的半径及及截面的半径 r 有下面的关系： 。 4球面上的大圆和小圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。 球面上两点距离的概念： 在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。 2球的表面积和体积： 若球的半径为 R，则它的表面积 S= ；它的体积 。 二考点指要 理解球的有关概念和性质，掌握球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算 例 1C 70 分子有 70 个顶点，以每个顶点为一端有三条棱，各面是五边形
4、或六边形求 C70 分子中五边形和六边形的个数 思路分析：若有 x 个五边形和 y 个六边形，则简单多面体的面数 Fx+y而这个简单多面体的棱数量E 。从而，根据欧拉公式可以求出 x 和 y 的值 解：设 C70 分子中五边形有 x 个，六边形有 y 个 则 Fx+y 依题意可知棱数 E = 105。 V=70 ， 有 70+(x+y)107, 即 x+y37. ，则有 5x+6y=210, 由 ，解得 x=12, 且 y=25. 答：在 C70 分子中有 12 个五边形、25 个六边形。 例 2若一个简单多面体的每一个面都是凸 n 边形，每一个顶点上都有 m 条棱。求证： 。 思路分析： 设
5、这个简单多面体的面数为 F，棱数为 E，顶点数为 V，则有 ，且 。于是根据欧拉公式，便可以找到 m 与 n 的关系。 证明：设多面体的面数为 F， 每个面有 n 条边， 即是这个多面体的棱数，即 ，则。 每个顶点上有 m 条棱，设多面体的顶点数为3V，则 即是多面体的棱数，即 ，则 ， E+2=V+F， ， ， E0, . 例 3晶体硼的基本结构单元是由 20 个等边三角形组成的正二十面体，其中每一个顶点是一个 B 原子，问这个基本单元是由多少个 B 原子所组成的？其中含有 B-B 键有多少个？ 思路分析； 由于每一个面有三条边，且共有 20 个面，所以可求得这个正二十面体的棱数（即 B-B
6、 键的个数）。因为在数 F=20，所以由欧拉公式 V+F-E=2。可求得顶点 V=12，即 B 原子的个数为 12。 解： F=20， 每一个面是正三边形， 棱数 ， 设顶点数为 V， V=E-F+2=12，即这个正二十面体共有 12 个顶点，30 条棱。 答：晶体硼的基本结构单元由 12 个 B 原子组成，共含 30 个 B-B 键。 例 4在半径等于 25cm 的球内有一个截面，它的面积是 49cm2，求球心到这个截面的距离 思路分析：由截面的面积求出截面半径 r，根据截面的性质求出球心到截面的距离。 解：设截面半径为 r r 2=49cm2, r=7cm, 设球心到截面的距离为 d .
7、答：球心到截面的距离是 24cm。 例 5 三个球的半径之比是 1:2:3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍 思路分析: 由三个球的半径之比等于 1:2:3，可设三个球半径分别为 r、2r 和 3r，则三个球的体积都可以表示有关 r 的代数式，然后再研究它们体积的数量关系. 解： 三个球半径之比为 1:2:3，于是可设三个球的半径分别为 r, 2r 和 3r 则最大球的体积 ，其他两个球的体积之和为 。 所以最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍。 4例 6轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1cm，求球的体积。 思路分析： 根据球与圆锥内切的关系，找出球
8、半径与圆锥的底面半径以及母线之间的关系，以便于求出球的半径。 解：如图，作出轴截面， ABC 是正三角形， ， CD=1cm, AC=2cm, , RtAOERtACD, , 设 OE=R，则 ， ， ， 。 答：球体积等于 。 例 7在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为 h 的水然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。 思路分析：解决问题的关键是找到圆锥的体积等于球体积和水的体积之和。 解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，ABS 为等边三角形。 SG=h, , . 设铁球的半径为 R，则 SO=2R，SF=3R ，在 RtFBS 中， ， ， 。 依题意，有 V 锥体 =V 球 +V 水 ，即 ， 。 答：所求铁球的半径等于 。
