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1、高等数学,第一节 导数的概念,第二节 函数的求导法则,第三节 高阶导数,第四节 相关变化率,第五节 函数的微分,1.导数的概念。 2.函数的求导法则。 3.高阶导数。 4.相关变化率。 5.函数的微分。,学习重点,第三章 导数与微分,为了说明微分学的基本概念导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题. 1. 变速直线运动的瞬时速度 我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式 v=s/t,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,1. 变速直线运动的瞬时速度 来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段
2、时间t0，t1内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作s，时间增量t1-t0记作t，平均速度记作v，得,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,1. 变速直线运动的瞬时速度 那么，怎样求非匀速直线运动物体在某一时刻的速度呢？ 由于物体做变速运动，用匀速直线运动的公式v=s/t来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量t，当时间由t0改变到t0+t时，在t这一段时间内，物体走过的路程是 s=f(t0+t)-f(t0
3、). 物体在时间间隔t内的平均速度是,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,1. 变速直线运动的瞬时速度 用t这一段时间内的平均速度表示物体在t0时刻的瞬时速度，这当然是近似值，显然t越小，即时刻t越接近于t0，其近似程度就越好.为完成“近似”向“精确”的转化，令t0，如果平均速度v的极限存在，则这个极限值就叫作物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,2. 切线问题 设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在
4、点M处的切线.,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,2. 切线问题 当x0时，割线MN将绕点M转动到极限位置MT.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tan的极限就是切线MT的斜率tan(是切线MT的倾斜角).,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,2. 切线问题 以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同的实际意义，
5、只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.,一、导数概念的两个引例,第一节 导数的概念,定义1 设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量x时，相应地函数y有增量 y=f(x0+x)-f(x0). 如果当x0时，y/x的极限存在，则这个极限就称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或称为变化率)，记为y|x=x0，即 也可以记作,二、导数的定义,第一节 导数的概念,如果极限存在，就称函数f(x)在点x0处可导.如果极限不存在，就称函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是当x0时，yx，为了方便起见，往往也说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 如果
6、函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫作原来函数y=f(x)的导函数，记为y，f(x)，dy/dx或df(x)/dx.,二、导数的定义,第一节 导数的概念,在式中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式： 显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值，即 为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也称导数. 由此可见，导数是用极限来定义的，类似于有关极限的内容，导数有左右导数的定义.,二、
7、导数的定义,第一节 导数的概念,定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若 存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f-(x0)(f+(x0). 函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数. 显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论： f(x0)存在左导数f-(x0)和右导数f+(x0)存在并且相等.,二、导数的定义,第一节 导数的概念,定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若 存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f-(x0)(f+(x0). 函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数. 显然，当函数y=f(x)在点
8、x0处导数存在时，有结论： f(x0)存在左导数f-(x0)和右导数f+(x0)存在并且相等.,二、导数的定义,第一节 导数的概念,根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为以下三个步骤：,三、求导数举例,第一节 导数的概念,由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率,即 f(x0)=tan. 其中是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得,曲线y=f(x)在给定点M(x0,y0)处的切线方程是 y-y0=f(x0)(x-x0). 过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫作曲线
9、y=f(x)在点M(x0,y0)的法线.如果f(x0)0,则法线方程为,四、导数的几何意义,第一节 导数的概念,设函数y=f(x)在点x0处可导,即极限 存在.由函数极限存在与无穷小的关系知 y/x=f(x0)+(是当x0时的无穷小). 上式两端同乘以x,得y=f(x0)x+x,不难看出,当x0时,y0.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的. 所以,如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续. 注意：如果函数y=f(x)在某一点处连续,却不一定在该点处可导.,五、函数可导性与连续性的关系,第一节 导数的概念,法则1 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(
10、x)v(x)也在点x处可导，且 u(x)v(x)=u(x)v(x). 法则2 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x). 特别地，令v(x)=c(常数)，由于c=0，所以有cu(x)=cu(x).,一、函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数的求导法则,法则3 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)0，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且 u(x)/v(x)=u(x)v(x)-u(x)v (x)/v(x)2.,一、函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数的求导法则,法则
11、4 如果函数u=(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=(x)处可导，那么复合函数f(x)在点x处也可导，并且 Dy/dx=dy/dudu/dx 或 f(x)=f(u)(x). 法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况. 例如，y=f(u)，u=(v)，v=(x)都是可导函数，则复合函数y=f(x)的导数是 Dy/dx=dy/dudu/dvdv/dx.,二、复合函数的求导法则,第二节 函数的求导法则,利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：,二、复合函数的求导法则,第二节 函数的求导法则,如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得.
12、但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是： (1) 将方程F(x，y)=0的两边对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数； (2) 求导后，解出y即可(式子中允许有y出现).,三、隐函数的求导法则,第二节 函数的求导法则,法则5 设函数x=(y)在区间D内单调，在y处可导，且(y)0，则其反函数y=f(x)在x=(y)处也可导，且 在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即 称为函数的参数方程.,四、反函数的求导法则,第二节 函数的求导法则,y=f(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数. 类似地,y=f(
13、x)的二阶导数y的导数叫作y=f(x)的三阶导数,三阶导数的导数叫作y=f(x)的四阶导数一般地,f(x)的n-1阶导数的导数叫作y=f(x)的n阶导数,分别记作 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.,一、高阶导数的概念,第三节 高阶导数,设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t),瞬时速度为v=s(t).此时,若速度v仍是时间t的函数,则可以求速度v对时间t的变化率: v(t)=(s(t)=s(t). 在力学中把它叫作物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数,即,二、二阶导数的物理意义,第三节 高阶导数,在实际问题中,有时遇到参与变化的几个变量
14、都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系,从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系,以便由已知的变化率求出未知的变化率.,第四节 相关变化率,定义如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f(x0)，那么f(x0)x就叫作函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy|x=x0，即 若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫作函数的微分，记作dy或df(x)，即 dy=f(x)x.,一、微分的定义,第五节 函数的微分,由定义可以知道，自变量的微分就是自变量的改变量，记作dx，即dx
15、=x，于是 dy=f(x)dx. 由式两边同时除以dx可以得出 Dy/dx=f(x). 上式说明，导数f(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此导数也叫作微商. 今后我们把可导函数也称为可微函数.,一、微分的定义,第五节 函数的微分,设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x0)，过P点作割线PQ交曲线于Q点，其坐标为(x0+x，f(x0+x)，则dx=x=PR，y=RQ. 又设过P(x0，f(x0)点的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是过P点的切线PT的斜率，即 f(x0)=tan=RM/PR.,二、微分的几何意义,第五节 函数的微分,因此函数在点
16、x0的微分是： 这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处切线的纵坐标对应于x的改变量.这就是微分的几何意义.,二、微分的几何意义,第五节 函数的微分,1.微分的基本公式 2.函数和、差、积、商的微分法则,三、微分的运算,第五节 函数的微分,3.复合函数微分法则 若函数y=f(u)及u=(x)都可导，则复合函数y=f(x)的微分为 dy=yxdx=f(u)(x)dx. 由于(x)dx=du，故上式为 dy=f(u)du. 所以复合函数的微分法则为 dy=f(u)du. 将这个公式与x为自变量的微分公式dy=f(x)dx相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u是自变量还是中间变量(即自变量的函数)，
