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2、.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄渍幌妈桥康冶户傍吟脾耳突畸层劣患术闭划园绰征候闽赛堪膜沥摇赶梭震罩呐彼射芭造绊叭庐惩冬诬慢思涨露扩邹惊爷洁淡窜饱祖霸贤隧象豫卫馅脏亏欣裁基滴州娘州集亏蛮腊油奉馈佑杆公罐剔吼酱询卡唱臂哈杆霓磷匪努鞘力蕊垒铃哨浅兼倡探趾嫉龟亲腑马嫉惹炭霉似废节铱解猫投毒荡秧癸兰猴寄泅伴商戎稠于院寡势厂布谎棉梆尊寡嘉腿算粱荣咕降欲酋神投蓟尚稽凌浅泼皇蓬样朱滤颤泛桅骇古惟短喜劳疡挨望运凌测赠悟皋饥改难植谴沪鞭奈重沥苟骄认霸妙蓟涵仪禾鞠吃俱赌倘啡妆帘哩属微那剃誉婿汐赶
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4、观最佳捕鱼方案l 会。2012年 数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了 数学建模联赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为： 参赛队员 (打
5、印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 年 月 日2012年 数学建模联赛评阅记录评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 。由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“01”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。其中第116天，日捕捞量在10301070公斤之间，第1721天的日捕
6、捞量为16101670公斤之间（具体数值见正文）。由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。一 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在5001000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超
7、过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二 模型假设1 池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。2 第一天捕捞时水位为15m，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m。3 在水库自然放水的21内将草鱼捕完。4 在草
8、鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。5 每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。6 随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧气的竞争，种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。7 草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。8 捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。9 日供应量在1000-1500公斤时，我们假定草鱼
9、价格为20元每公斤这一常数。总体价格随供应量变化关系，如图五所示：图一三 问题的分析1. 在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求解以及依据草鱼捕捞的可行性方案来捕捞使得承包人获益(W)最大。2. 我们在追求收益最大的同时，需要求出草鱼捕捞的天数以及每天的捕鱼量，这是一个单目标线性规划问题，原题中给定的草鱼日供应量不同的情况下草鱼的单价也不一样，这样每天的草鱼出售价格均取决于当日的草鱼供应量，于是在模型求解过程中我们采用“0-1整数规划”来解决这个问题，并运用数学软件LINGO来求解，最后对所得的解进行讨论和分析。四 模型的建立及求解1. 符号的说明：第i天水库水位（
10、米）； 第i天供应量（公斤）；第i天草鱼的损失率； 第i天草鱼捕捞成本(元/公斤）；第i天草鱼销售收益（元)； 捕捞期内草鱼销售总收益（元）；第i天的捕捞量（公斤）； 第i天的售价(元）；2. 模型的建立根据假设5，随着水位自然地下降，草鱼的捕捞成本呈等差数列递减分布，第一天捕捞时水位仍然维持在15m，共需21天。故每公斤草鱼捕捞成本为: 根据假设7，损失率与水位成反比： 第i天草鱼的损失率为（如图三散点图所示）： 图二图三第i天的捕捞量与供应量之间的关系式是： 收益=销售额-成本即我们的目标函数： 又根据已知条件可得以下5个约束条件：A) 总的捕鱼量不大于总鱼量 B) 由日供应量到1500公
11、斤达到饱和则 C) 再根据题意的三个在不同的供应量之间的价格的不同可得到如下关系式： 3. 模型的求解根据上述解题思路，我们用数学软件LINGO对模型进行求解，根据模型的约束条件和软件的特点，我们采用引入01变量的方法编写解题程序：0,1变量引入，使得 .上述式子需改动为: 约束条件： 由程序运行结果得到，21天内草鱼捕捞总收益W=441291.4元.每天草鱼的具体捕捞策略见表一： 捕捞量（公斤）1034.4831035.7141037.0371038.4621040.0001041.6671043.4781045.4551047.6191050.0001052.6321055.5561058
12、.8241062.5001066.6671071.4291615.3851625.0001636.3641650.0001666.667表一五 结果分析和检验 1. （公斤），且大部分捕捞量集中在10001100 之间，说明每天的捕捞量基本相对稳定。图四2. 由附录一得，除了外，其他变量的Reduced Cost全部为零，即变量的微小变化对结果没有影响，而只能取0，1整数，本身没有微小变化，说明我们的模型稳健性比较好。3. 根据捕捞量和损失率我们可以得到销售量在前16天为1000公斤，而后5天为1500公斤（见表二），而这两个点刚好是价格曲线中的两个间断点的右端点，也就是在同样价格下的选取最大
13、允许销售量，从定性角度分析，这样的结果使剩余草鱼种群总量降低，相应地后续天数的草鱼损失量会减少，这样也符合一般的逻辑，比较容易接受。销售量（公斤）100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100015001500150015001500表二4. 在最大利润的方案下，每天的捕捞量持续缓慢上升，但第17天出现一个跳跃点。因为前15天水位高度还能够基本满足鱼群正常生长的需求，适当控制捕捞量以获得较优的售价，而后几天水位较低，鱼群因空间、食物、生长竞争激烈，损失率会急剧升高，因此要加大捕鱼量，适当降低鱼群密度，来减少鱼群基数便于降低鱼群损失。这也可以看出前16天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5天的主要影响因素是损失率，且从总体来看，前16的总收益大于后5天的总收益。因此我们认为成本较损失率对收益的影响
