不确定度的计算资料

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1、 1 测量误差与不确定度评定测量误差与不确定度评定 一一、 测量误差测量误差 1、 测量误差和相对误差 （1） 、测量误差 测量结果减去被测量的真值所得的差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差称为测量误差，简称误差简称误差。 这个定义从 20 世纪 70 年代以来没有发生过变化， 以公式可表示为： 测量误差测量误差测量结果测量结果真值真值。测量结果是由测量所得到的赋予被测量的 值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或 估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程 序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。真值是量的定义的完整 体现，是与给定的特

2、定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美 无缺的测量，才能获得的值。所以，真值反映了人们力求接近的理想目 标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在， 实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。因而， 作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。 过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测 量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。误差与测量结果有关，即 不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不 存在一个共同的误差。一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就 是负值（负误差） ，它取决于这个结果是大

3、于还是小于真值。实际上，误 差可表示为： 误差误差测量结果测量结果真值真值（测量结果测量结果总体均值总体均值）（）（总体均值总体均值真值真值） 2 随机误差随机误差系统误差系统误差 （2） 、相对误差 测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。 2、 随机误差和系统误差 （1） 、随机误差 测量结果与重复性条件下测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结对同一被测量进行无限多次测量所得结 果的平均值之差果的平均值之差，称为随机误差称为随机误差。 随机误差随机误差测量结果测量结果多次测量的算术平均值多次测量的算术平均值（总体均值总体均值） 重复性条件是指在尽量相同的条件下，

4、包括测量程序、人员、仪器、 环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。 此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可 预知方式变化的测量误差的分量。 随机误差的统计规律性： 1 对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等， 也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。由于所有误差 的代数和趋于零，故随机误差又具有低偿性，这个统计特性是最为本质 的；换言之，凡具有低偿性的误差，原则上均可按随机误差处理。 2 有界性：测得值误差的绝对值不会超过一定的界限，也即不会出 现绝对值很大的误差。 3 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多，也即测得值 是以它们的

5、算术平均值为中心而相对集中地分布的。 （2） 、系统误差 3 在重复性条件下在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均 值与被测量的真值之差值与被测量的真值之差，称为系统误差称为系统误差。它是测量结果中期望不为零的 误差分量。 系统误差系统误差多次测量的算术平均值多次测量的算术平均值被测量真值被测量真值 由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能用约定真值代替， 因此可能确定的系统误差只是其估计值，并具有一定的不确定度。 系统误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若已识别并可定 量表述，则称之为“系统效应” 。该效应的大小若是显著的，

6、则可通过估 计的修正值予以补偿。但是，用以估计的修正值均由测量获得，本身就 是不确定的。 至于误差限、最大允许误差、可能误差、引用误差等，它们的前面 带有正负（）号，因而是一种可能误差区间，并不是某个测量结果的 误差。对于测量仪器而言，其示值的系统误差称为测量仪器的“偏移” ， 通常用适当次数重复测量示值误差的均值来估计。 过去所谓的误差传播定律，所传播的其实并不是误差而是不确定度， 故现已改称为不确定度传播定律。还要指出的是：误差一词应按其定义 使用，不宜用它来定量表明测量结果的可靠程度。 3、修正值和偏差 （1） 、修正值和修正因子 用代数方法与未修正测量结果相加用代数方法与未修正测量结果

7、相加，以补偿其系统误差的值以补偿其系统误差的值，称为称为 修正值修正值。 含有误差的测量结果，加上修正值后就可能补偿或减少误差的影响。 4 由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。修正值等于负的 系统误差，这就是说加上某个修正值就像扣掉某个系统误差，其效果是 一样的，只是人们考虑问题的出发点不同而已，即 真值真值测量结果测量结果修正值修正值测量结果测量结果误差误差 在量值溯源和量值传递中，常常采用这种加修正值的直观的办法。用 高一个等级的计量标准来校准或检定测量仪器，其主要内容之一就是要 获得准确的修正值。换言之，系统误差可以用适当的修正值来估计并予 以补偿。但应强调指出：这种补偿是不

8、完全的，也即修正值本身就含有 不确定度。当测量结果以代数和方式与修正值相加后，其系统误差之模 会比修正前的小，但不可能为零，也即修正值只能对系统误差进行有限 程度的补偿。 修正因子修正因子：为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子， 称为修正因子称为修正因子。 含有系统误差的测量结果，乘以修正因子后就可以补偿或减少误差的 影响。但是，由于系统误差并不能完全获知，因而这种补偿是不完全的， 也即修正因子本身仍含有不确定度。通过修正因子或修正值已进行了修 正的测量结果，即使具有较大的不确定度，但可能仍然十分接近被测量 的真值（即误差甚小） 。因此，

9、不应把测量不确定度与已修正测量结果的 误差相混淆。 （2） 、偏差：一个值减去其参考值一个值减去其参考值，称为偏差称为偏差。 这里的值或一个值是指测量得到的值，参考值是指设定值、应有值 或标称值。 5 例如：尺寸偏差实际尺寸应有参考尺寸 偏差偏差实际值实际值标称值标称值 在此可见，偏差与修正值相等，或与误差等值而反向。应强调指出的 是：偏差相对于实际值而言，修正值与误差则相对于标称值而言，它们 所指的对象不同。所以在分析时，首先要分清所研究的对象是什么。 常见的概念还有上偏差 （最大极限尺寸与参考尺寸之差） 、 下偏差 （最 小极限尺寸与参考尺寸之差） ，它们统称为极限偏差。由代表上、下偏差

10、的两条直线所确定的区域，即限制尺寸变动量的区域，统称为尺寸公差 带。 二、 测量不确定度的评定与表示 1、 测量不确定度 表征合理地赋予被测量之值的分散性表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数与测量结果相联系的参数， 称为测量不确定度称为测量不确定度。 “合理”意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是 测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。 “相联系”意指 测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整 表示中应包括测量不确定度。此参数可以是诸如标准偏差或其倍数， 或说明了置信水准的区间的半宽度。 测量不确定度从词意上理解，意味着对测量结

11、果可信性、有效性的 怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。实际 上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即 每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许 6 多个值。虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全 认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种 概率分布本身也具有分散性。测量不确定度就是说明被测量之值分散性 的参数，它不说明测量结果是否接近真值。 为了表征这种分散性，测量不确定度用标准偏差表示。在实际使 用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此规定测量不确定度也可 用标准偏差的倍数或说明了置信水

12、准的区间的半宽度表示。为了区分 这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。 （1）测量不确定度来源 在实践中，测量不确定度可能来源于以下十个方面： 1 对被测量的定义不完整或不完善； 2实现被测量的定义的方法不理想； 3取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量； 4对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不 完善； 5对模拟仪器的读数存在人为偏移； 6测量仪器的分辩力或鉴别力不够； 7赋予计量标准的值或标准物质的值不准； 8引用于数据计算的常量和其它参量不准； 9测量方法和测量程序的近似性和假定性； 10 在表面上看来完全相同的条件下，被测量

13、重复观测值的变化。 由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条 7 件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。这就使测量不确定度一般 由许多分量组成，其中一些分量可以用测量列结果（观测值）的统计分 布来进行评价，并且以实验标准偏差表征；而另一些分量可以用其它 方法（根据经验或其它信息的假定概率分布）来进行评价，并且也以标 准偏差表征。所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性。若需要表 示某分量是由某原因导致时，可以用随机效应导致的不确定度和系统效 应导致的不确定度。 （2）标准不确定度和标准偏差 以标准以标准 偏偏 差表示的测量不确定度差表示的测量不确定度，称为标准不确定度称为标

14、准不确定度。 标准不确定度用符号 u 表示，它不是由测量标准引起的不确定度， 而是指不确定度以标准偏差表示，来表征被测量之值的分散性。这种 分散性可以有不同的表示方式，例如：用 n x i x n i 1 表示时，由于正残差与负 残差可能相消，反映不出分散程度；用 n x i x n i 1 表示时，则不便于进行解析 运算。只有用标准偏差表示的测量结果的不确定度，才称为标准不确 定度。 当对同一被测量作 n 次测量，表征测量结果分散性的量 s 按下式算 出时，称它为实验标准偏差： S= 1 2 1 n xx n i 式中： xi为第 i 次测量的结果； x为所考虑的 n 次测量结果的算术平均值

15、。 对同一被测量作有限的 n 次测量，其中任何一次的测量结果或观测 8 值，都可视作无穷多次测量结果或总体的一个样本。数理统计方法就是 要通过这个样本所获得的信息（例如算术平均值x和实验标准偏差 s 等） ，来推断总体的性质（例如期望 和方差 2等） 。期望是通过无穷多 次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值，又称为总体均值 ， 显然它只是在理论上存在并表示为 n lim n 1 i x n i 1 方差 2则是无穷多次测量所得观测值 x i与期望之差的平方的算术 平均值，它也只是在理论上存在并可表示为 2 n lim n 1 2 1 i x n i 方差的正平方根，通常被称为标准偏差，又

16、称为总体标准偏 差或理论标准偏差；而通过有限多次测量得的实验标准偏差 s，又称 为样本标准偏差。这个计算公式即为贝赛尔公式，算得的 s 是的估 计值。 s 是单次观测值 xi的实验标准偏差， s/n才是 n 次测量所得算术平 均值x的实验标准偏差，它是x分布的标准偏差的估计值。为易于区 别，前者用 s(x)表示，后者用 s(x)表示，故有 s(x)=s(x)/n。 通常用 s(x)表征测量仪器的重复性，而用 s(x)评价以此仪器进行 n 次测量所得测量结果的分散性。随着测量次数 n 的增加，测量结果的分 散性 s(x)即与n成反比地减小，这是由于对多次观测值取平均后，正、 负误差相互抵偿所致。 所以