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1、二000年上半年高教育自学考试全国统一命题考试线 性 代 数（课程代码 2198）本试卷分两部分，第一部分为选择题，1页至3页；第二部分为非选择题，4页至10页，共10页；选择题28分，非选择题72分，满分100分。考试时间150分种。第一部分 选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或末选均无分。1设矩阵，则下列矩阵运算有意义的是 【】A.ACB B.ABC C.BAC D.CBA2.设n阶方阵A满足A2 E =0，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】A.A=E B.A=-E C.
2、A=A-1 D.det(A)=13.设A为3阶方阵，且行列式det(A)= ,则det(-2A)= 【】A.-4 B.4 C.-1 D.14.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合D.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合5设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A B. C. D. 6.向量组(I): 线性无关的充分必要条件是【】A.(1)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(1)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出
3、C.(1)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数 ，使 k1 a1+ km am 07设为矩阵，则元齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是A的行向量组线性相关 B. 的行向量组线性无关C. 的列向量组线性相关 D. 的列向量组线性无关8.设、均为零常数（=1，2，3），且齐次线性方程组的基础解系含2个解向量，则必有【】 A. B. C. D. 9.方程组 有解的充分必要的条件是【】A. a=2 B. a=-2 C. a=3 D. a=-310.n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个A.互不相同的牲值 B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量11.下
4、列矩阵中为正交矩阵的是【】A. B. C. D. 12.若2阶方阵A相似于矩阵,E为2阶单位矩阵,则方阵,则方阵E A必相似于矩阵【】A. B. C. D. 13.二次型的秩等于【】A0 B.1 C.2 D.314.若矩阵正定,则实数的取值范围是【】A8 B. 4 C-4 D-4 4第二部分 非选择题（共72分）一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 15设矩阵为的转置，则= 。 16设矩阵则行列式det()的值为 . 17行列式的值为 . 18若向量组线性相关，则常数= . 19.向量组（1，2），（3，4），
5、（4，6）的秩为 . 20.齐次线性方程组 的其础解系所含解向量的个数为 21.已知、是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程有一个非零解= .22.矩阵的全部特征值为 。23设1和2是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，、依次是A的属于特征值1、2的特征向量，则实常数a= .24.的矩阵A=二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25算行列式的值。26设求A-1。27求方程组的基础解系与通解。28a取何值时，方程组有解？在有解时求出方程组的通解。29已知2阶方阵A的特征值为1、=1及2 =- ，方阵B=A2，求B的特征值 及其行列式的值。30已知二次型经正交变换 化成
6、了标准形求所用的正交矩阵P.31.矩阵 能否相似于对角矩阵?若能寻角化,求一个可逆矩阵P及对角矩阵D,使得P-1AP=032.设向量组线性无关。试证明：向量组线性无关。33设B是阶方阵，且B的元素全都是1，E是n阶单位位矩阵。证明：二000年上半年高等教育自学考试全统一命题考试线性代数试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.C 11.B 12.C 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 16. 1 17. 14 18. 8 19. 2 20.
7、 1 21.(2,4,3)T(或它的非零倍数) 22. 1、4、-6 23. -3 24.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25. 1分3分6分 26. 2分4分5分，6分或det（A）=-1，5分6分27. 2分一个基础解系:=(-2, 1, 0, 0)T ,=(2, 0, -1, 1)T5分通解为 （、是任意常数）6分28 故当且仅当a=2时，有解。当时，得是任意）， 所以6分或 即6分29B的特征值为2分9分6分30f的矩阵为1分 A的特征值为1=7，2=3，2分对应的特征向量依次可取为 5分故所求正交矩阵可取为6分31特征多项式1分A的特征值是1=2=0，3=12分属于1=2=0，的线性无关特征向量可取为1（=（2，1，0）T ，2=（1，0，1）4分属于3=1的特征向量可为3=（3，3，-4）T，5分故A可相似于对角阵 所求可逆矩阵P可取为 它使得P-1AP=D6分四、证明题（本大题共2题，每小题5分，共10分） 32.证一：设有数使1分即由线性无关，有1分该方程组只有零解故线性无关。5分证二：因线性无关，用线性表出的系数行列式故线性无关。（若只证明0，不强调线性无关这一条件就得出线性无关的结论，扣2分）。33只须证明1分由 及 得5分故命题得证。
