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1、3 集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题4.了解全集的意义和它的记法理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题二、知识梳理1并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)ABx|xA，或xB交集由属于集合A且属于集合B的
2、所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)ABx|xA，且xB2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABA3全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.4补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作U A符号语言U Ax|xU，且xA图形语言5.补集的性质UU，UU，U(U A)A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M4,5,6,8，集合N3,5,7,8，
3、那么MN等于()A3,4,5,6,7,8 B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,8(2)已知集合Px|x3，Qx|1x4，那么PQ等于()Ax|1x3 Bx|1x4Cx|x4 Dx|x1答案(1)A(2)C解析(1)由定义知MN3,4,5,6,7,8(2)在数轴上表示两个集合，如图规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示跟踪演练1(1)已知集合Ax|(x1)(x2)0；Bx|(x2)(x3)0，
4、则集合AB是()A1,2,3 B1，2,3C1，2,3 D1，2，3(2)若集合Mx|3x5，Nx|x5，或x5，则MN_.答案(1)C(2)x|x5，或x3解析(1)A1，2，B2,3，AB1，2,3(2)将3x5，x5或x5在数轴上表示出来则MNx|x5，或x3知识点二集合交集的简单运算例2(1)已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB等于()A2 B4C0,2,4,6,8,16 D2,4(2)设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB等于()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4答案(1)D(2)A解析(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所
5、以AB2,4(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图则由交集的定义可得ABx|0x2规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似跟踪演练2已知集合Ax|1x3，Bx|x0，或x，求AB，AB.解Ax|1x3，Bx|x0，或x，把集合A与B表示在数轴上，如图ABx|1x3x|x0，或xx|1x0，或x3；ABx|1x3x|x0或xR.知识点三已知集合交集、并集求参数例3已知Ax|2axa3，Bx|x1，或x5，若AB，求实数a的取值范围解由AB，(1)若A，有2aa3，a3.(2)若A，如下图：解得a2.综上所述，a的取值范围是a|a2，或a3规律方法1.与不等式有关
6、的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结2建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证跟踪演练3设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围解如下图所示，由ABx|1x3知，1a3.知识点四简单的补集运算例4(1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则U A等于()A1,2 B3,4,5C1,2,3,4,5 D(2)若全集UR，集合Ax|x1，则U A_.答案(1)B(2)x|x1解析(1)U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5(2)由补集的定义，结合数轴可得U A
7、x|x1规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解2解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(U A)U.跟踪演练1已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则U A_.答案x|x3，或x4解析借助数轴得U Ax|x3，或x4知识点五交集、并集、补集的综合运算例5(1)已知集合A、B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB等于()A3 B4C3,4 D(2)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|2x1 Bx|x4Cx|x1 Dx|x1答案(1)A(2)C解析(1)U1,2,3
8、,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3又UB3,4，AUB3(2)因为Sx|x2，所以RSx|x2而Tx|4x1，所以(RS)Tx|x2x|4x1x|x1规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算2当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解跟踪演练2设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，ABx|2x10，R(AB)x|x
9、2，或x10RAx|x3，或x7，(RA)Bx|2x3，或7x10要点六补集的综合应用例6已知全集UR，集合Ax|x1，Bx|2axa3，且BR A，求a的取值范围解由题意得RAx|x1(1)若B，则a32a，即a3，满足BRA.(2)若B，则由BRA，得2a1且2aa3，即a3.综上可得a.规律方法1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集跟踪演练3已知集合Ax|xa，Bx1，或x0，若A(RB)，求实数a的取值范围解Bx|x1，或x0，RBx|1x0，因而要使A(RB
10、)，结合数轴分析(如图)，可得a1.四、课堂练习1若集合A0,1,2,3，B1,2,4，则集合AB 等于()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C1,2 D0答案A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，AB共含有5个元素故选A.2设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为()A2 B3 C3,2 D2,3答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合B中的方程可知B3,2，因此阴影部分显然表示的是AB23集合PxZ|0x3，MxR|x29，则PM等于()A1,2 B0,1,2Cx
11、|0x3 Dx|0x3答案B解析由已知得P0,1,2，Mx|3x3，故PM0,1,24已知集合Ax|x2，或x0，Bx|x，则()AAB BABRCBA DAB答案B解析Ax|x2，或x0，Bx|x，ABx|x0，或2x，ABR.故选B.5设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_答案k6解析因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.6若全集M1,2,3,4,5，N2,4，则MN等于()A B1,3,5C2,4 D1,2,3,4,5答案B解析MN1,3,5，所以选B.7已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则BUA等于()A2 B3,4C1,4,5 D2,3,4,5答案B解析U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5，BUA2,3,43,4,53,48已知M0,1,2,3,4，N1,3,5，PM N，则P的子集共有()A2个 B4个C6个 D8个答案B解析P1,3，子集有224个9.已知全集
