《28lunwen》由会员分享，可在线阅读，更多相关《28lunwen（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、唐山师范学院本科毕业论文题 目 一些特殊矩阵的Kronecker积学 生 张辉 指导教师 孙秀娟 讲师年 级 2008级数学专接本班专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2010年5月郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孙秀娟完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 年 月 日 目 录标题1中文摘要11 引言12 预备知识13 Kronecker乘积的性质24 一些特殊矩阵的Kronecker积64.1一些
2、特型矩阵的Kronecker积64.2一些特性矩阵的Kronecker积8参考文献.12致谢.13外文页.14211一些特殊矩阵的Kronecker积张辉摘 要 Kronecker乘积是一种重要的矩阵乘积.给出了Kronecker乘积满足的运算规律,且推导了其特征值、迹、秩、行列式的相关性质,其次探讨了一些特型矩阵、特性矩阵Kronecker乘积的若干不变性.关键词 Kronecker积 不变性 正定性1 引言 矩阵在各个学术领域和重要应用课题中已经起着不可替代的作用, 计算机在数值计算方面的使用中矩阵计算占据着大部分时间, 因此矩阵的基本理论是非常重要而基础的知识. Kronecker乘积是
3、任意两个矩阵之间的一种乘积运算，这种乘积运算没有一般矩阵乘积那么多的限制，在矩阵代数方程和微分运算的讨论中, 应用Kronecker积常会使运算方便简洁, 因此有着很广泛的应用. 文中给出了Kronecker乘积的一些基本性质, 并在此基础上对几类特殊矩阵的Kronecker乘积做了进一步研究.用表示复数域上阶矩阵的集合,表示的转置,表示的共轭转置矩阵,表示矩阵的特征值,表示矩阵的迹,表示矩阵的秩,表示矩阵的行列式,表示具有对角元素的对角矩阵.2 预备知识定义1 设, 称如下给出的分块矩阵为与的Kronecker积（或直积）. Kronecker积也有幂的概念, 记：.下面给出一些特殊矩阵（即
4、各类命名矩阵, 总归有其各自独特刻画）的定义：定义2 设, 如果满足, 则称为正交矩阵.定义3 设, 如果满足（）, 则称为Hermite矩阵（反Hermite矩阵）.定义4 设, 如果满足, 则称为幂等矩阵.定义5 设, 如果存在最小正整数, 使得, 则称为次幂零矩阵.定义6 设, 如果满足, 则称为对合矩阵.定义7 设, 如果满足, 则称为幂合矩阵. 定义8 设, 如果满足, 则称为正规矩阵.定义9 设, 如果满足, 则称为酉矩阵.定义10 设, 如果存在非奇异矩阵使得, 则称关于是相合的或共轭相合的, 也就是说相合或共轭相合于.3 Kronecker乘积的性质 性质1 设, 则.一般说来
5、. 例如，设, 则,.性质2 矩阵的Kronecker积不满足交换律. 但对单位矩阵, 有 .已知了矩阵的Kronecker积不满足交换律, 是否满足结合律、分配律、数乘结合律呢？下面将依次解决这些问题.性质3 设是任意复数, 则.性质4 设 , 则.性质5 若,为同阶矩阵, 则.上面几个性质我们认识了Kronecker乘积的一些基本运算性质, 通常的矩阵乘积和Kronecker乘积的混合积是怎样进行运算的呢？性质6 设 , 则. 证明 .性质7 设 , 则.证明 .关于Kronecker积的幂有如下结果：性质8 设, 则.证明 对做数学归纳法.当时, 结论显然成立. 设对成立, 下面讨论的情
6、况.以上讨论了矩阵做Kronecker乘积的一些运算性质. 下面将对矩阵做Kronecker乘积后的特征值、迹、秩、行列式依次进行研究.性质9 设 是关于特征值的一个特征向量, 是关于特征值的一个特征向量, 则是对应特征值的一个特征向量.证明 因为, 故, 且, 所以是对应特征值的一个特征向量.推论 设的特征值是,的特征值是, 则的特征值是, 重根算个.性质10 设 是关于特征值的一个特征向量, 是关于特征值的一个特征向量, 则是对应特征值的一个特征向量.证明 因为, 则有 . 所以是对应特征值的一个特征向量.性质11 设, 则.证明 设的特征值是, 则, 且. 因为. 命题得证.性质12 设
7、, 则.证明 设,和的等价标准形分别为, 其中均为可逆矩阵.所以.性质13 设, 则 .证明 设的特征值是,的特征值是, 则.由矩阵行列式与特征值的关系有.命题得证.4 一些特殊矩阵的Kronecker积所谓特殊矩阵, 亦即众多的各类命名矩阵, 总归有其各自的独特刻画. 从大的方面来说, 它们可以划分为两部分：一部分是通过容易直观识别的模式来刻画的, 称之为特型矩阵, 例如非负矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵. 另一部分则是通过含有不易直观识别的性质来刻画的, 称之为特性矩阵或性质矩阵, 例如可逆矩阵、正定（半正定）矩阵、正交矩阵、酉矩阵、正规矩阵.4.1一些特型矩阵的Kroneck
8、er积定理1 若都是非负矩阵, 则也是非负矩阵.证明 设, 因为和都是非负矩阵, 即.由定义可得.所以也是非负矩阵.定理2 若都是上（下）三角矩阵, 则也是上（下）三角矩阵.证明 设, 因为和都是上三角矩阵, 即.由定义可得.所以也是上三角矩阵.同理可证, 若和都是下三角矩阵, 则也是下三角矩阵.例1 若都是对角矩阵, 则也是对角矩阵.证明 设, 因为和都是对角矩阵, 即.由定义可得.所以也是对角矩阵. 定理3 若都是对称矩阵, 则也是对称矩阵.证明 因为和都是对称矩阵, 则, 所以 , 故也是对称矩阵.定理4 若都是Hermite矩阵, 则是Hermite矩阵.证明 因为和都是Hermite
9、矩阵, 则, 所以, 故也是Hermite矩阵.例2 若都是反Hermite矩阵, 则是Hermite矩阵.证明 因为和都是反Hermite矩阵, 则, 所以.故也是Hermite矩阵.4.2一些特性矩阵的Kronecker积定理5 设都是可逆矩阵, 则也可逆, 且有.证明 由性质6有.所以也可逆, 且.定理6 若都可对角化, 则也可对角化.证明 已知和都可对角化, 设.因为.所以也可对角化.定理7 若都是正交矩阵, 则也是正交矩阵.证明 因为和都是正交矩阵, 则.由性质6, 7有.所以也是正交矩阵.定理8 若都是幂等矩阵, 则也是幂等矩阵.证明 因为和是幂等矩阵, 则有.由性质8, 有.所以
10、是幂等矩阵.定理9 若都是幂零矩阵, 则也是幂零矩阵.证明 因为和是幂零矩阵, 则有存在正整数使得.设为的最小公倍数, 则有.所以是幂零矩阵.定理10 若都是对合矩阵, 则也是对合矩阵.证明 因为和是对合矩阵, 则有.由性质8, 有.所以是对合矩阵.定理11 若都是幂合矩阵, 则也是幂合矩阵.证明 因为和是幂合矩阵, 则有.由性质8, 有.所以是幂合矩阵.定理12 若都是正规矩阵, 则也是正规矩阵.证明 因为和都是正规矩阵, 则.由性质6, 7有 .所以也是正规矩阵.定理13 若都是酉矩阵, 则也是酉矩阵.证明 因为和都是酉矩阵, 则.由性质6, 7有 .所以也是酉矩阵.定理14 设, 若相似
11、于, 相似, 则相似于.证明 因为相似于, 相似, 所以存在可逆矩阵和, 使得, 则有 .所以相似于.例3 若都与对角矩阵相似, 则也与对角矩阵相似.证明 因为和都相似于对角矩阵, 所以存在可逆矩阵和, 对角矩阵和, 使得, 则有 .由例1结论可知也是对角矩阵, 所以也与对角矩阵相似.定理15 设, 若共轭相合于, 共轭相合于, 则共轭相合于.证明 因为共轭相合于, 共轭相合于, 所以存在可逆矩阵和, 使得 , 则有 .所以共轭相合于.定理16 若都是正定（半正定）矩阵, 则也是正定（半正定）矩阵.证明 由假设,和的特征值全为正的. 再有性质9,的特征值也全为正的,所以为正定矩阵. 同理可证关
12、于为半正定矩阵的结论.如果两个方阵的Kronecker乘积保持原来方阵的某一性质, 则称这个性质是矩阵的Kronecker乘积的不变性. 从以上的讨论可知：在实数域上非负性、正交性、正定性、半正定性是矩阵Kronecker乘积的不变性. 在复数域上对角性、上(下)三角性、对称、Hermite、可逆性、可对角化、幂等性、幂零性、对合性、幂合性、正规、酉、相似性、与对角矩阵相似、共轭相合性等都是矩阵Kronecker乘积的不变性. 参考文献1 陈景良,陈向晖.特殊矩阵M.北京:清华大学出版社,20012 戴华.矩阵论M.北京:科学出版社,2001.83 卜长江,罗跃生.矩阵论M.哈尔滨:哈尔滨工程
13、大学出版社,2003.84 晏林.矩阵的Kronecker乘积的几个性质J.云南师范大学学报,2000(06)5 杜鹃,范啸涛,冯思臣.特殊矩阵的Kronecker积J.四川师范大学学报(自然科学 版),2009(01)6 樊树平,段五朵.亚正定矩阵到kronecker积J.大学数学,2006(02) 7 庞新琴.正定复方阵Kronecker乘积与Hadamard乘积的定性J.济宁师范专科学院学报,2002(03) 8 李新.亚正定矩阵的Kronecker积与Hadamard积的亚定性问题J.重庆大学学报,1994(03) 9 李炯生.半正定复方阵的kronecker乘积J.数学研究与评论,1998(04)10 郭世平.正定实方阵的Kronecker积J.数学研究,1995(01)致
