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1、概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布教学要求：一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律.二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质.一、 掌握一维随机变量函数的分布重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布难点:正态分布，随机变量函数的分布练习一 随机变量
2、、离散型随机变量及其分布律1填空、选择(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量则随机变量在区间上取值的概率为_.(2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以表示命中的次数,如果,则_.(3)设离散型随机变量的概率分布为其中是常数，则（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）为任意常数2一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量的分布律.解：从中随机取3个共有种取法.以表示3个中的最大值.的所有可能取值为 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则; 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可
3、在1,2,3中任取2个,共有 种取法,故; 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有种取法,故. 也可由得到. 随机变量的分布律为3 4 5 3设为随机变量，且(), 则(1)判断上面的式子是否为的概率分布；解：令，显然 ， ；所以为随机变量的概率分布。(2)若是，试求和.解：为偶数； 。4. 设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验.(1)若将试验进行到首次成功为止,用随机变量表示试验的次数，求的概率分布(此时称服从以为参数的几何分布)；解：此试验至少做一次,这是可能取值的最小值.若需要做次,则前次试验均失败,最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为
4、:。(2)若将试验进行到出现次成功为止,以表示所需要的试验次数,求的分布律（此时称随机变量服从以为参数的巴斯卡分布或负二项分布）解：此试验至少做次,若需要做次,则第次必为成功,而前次中有次成功,由于各次实验是相互独立的,故分布律为:。(3)一篮球运动员投篮命中率为45.以表示他首次投中时累计投篮的次数,写出的分布律,并计算取偶数的概率.解：这是(1)中的情形,先写出的分布律:因故取偶数的概率为。5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解:因为学生靠猜测答对每一道题的概率,所以这是一个的独立重复试验,故.6设事件在每一
5、次试验中发生的概率为0.3.当发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；解:设表示在5次实验中发生的次数,则,指示灯发出信号这一事件可表示为,故所求的概率为.(2) 进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。解:设表示在7次试验中发生的次数,则,故指示灯发出信号的概率为7为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员.根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立.(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；解：设表示设备发生故障的台数，则，于是由人负责维修台设备，发生故障后不能及时维修的概率为
6、： (按Poisson分布近似)(2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：设表示设备发生故障的台数，则设为需配备的维修人员，则设备发生故障而不能及时维修的概率为依题意有由于 ，由Poisson分布近似得 ，查表得.所以至少需配备4名维修人员.8. 设书籍上每页的印刷错误的个数服从Poisson分布.经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解：设服从参数为泊松分布，即，则的分布律为，依题意有，即解得.所，每页没有印刷错误的概率 ,任意检验
7、4页，每页上都没有印刷错误的概率 .9. 某公安局在长度为的时间间隔内收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；解：已知，某一天从中午12时至下午3时则于是没有收到紧急呼救的概率为.（2）某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：已知，某一天从中午12时至下午5时则于是至少收到1次紧急呼救的概率为.练习二 随机变量的分布函数 1(1)设服从分布,其分布律为,求的分布函数,并作出其图形.解：服从(01)分布,分布律为0 1 当时,当时,当时,故的分布函数为: （图略）。(
8、2) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以表示取出的3只球中的最大号码,求随机变量的分布函数.解：的分布律为3 4 5 的分布函数为,即有当时, 当时,当时,当时,故知 2已知随机变量的概率分布为，试求（1）的分布函数；（2）；（3）画出的曲线.解：（1）；（2）（3）曲线：3设表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间(以分计),的分布函数为求下述概率:解： (1) . (2) (3) (4) (5) 5从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求（1）的概率分布；（2）的分
9、布函数解：（简答）（1）的概率分布律为 ；列成表格 （2）的分布函数为练习三 连续型随机变量及其概率密度1. 填空(1)设随机变量在区间上服从均匀分布,则关于的方程有实根的概率是_.(2)设随机变量,且概率,则=_.2. 设为连续型随机变量，其分布函数为试确定中的的值。解：因为, 所以 又由于为连续函数，则 即 ，于所有， 即 3. 设连续型随机变量的分布函数为试求:（1）的值；（2）；（3）概率密度函数.解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此有即. 又因为 所以 ,即. （2） （3） 4. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图所示.试求:（1）的值；(2）的概率密度；(3）；
10、(4) 求的分布函数 f (x) x t o 1 2 3 0.5解：（简答）（1） （2）（3） .(4) 5. 设连续型随机变量的概率密度为,试确定常数；并求.解：因为，则 即 ， 又，所以 6. 设随机变量服从1,5上的均匀分布，试求. 如果（1）； （2）.解：的概率密度为（1）；（2）.7. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求: （1）证明服从指数分布并求出的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。解：（1） 当时，所以 当时， ，所以 即服
11、从参数的指数分布.（2） （3） 8. 设连续型随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.解：因为 ，依题意 ，则 .9. 设顾客排队等待服务的时间（以分计）服从的指数分布.某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和.解：的概率密度 则顾客离开的概率为于是 ，其分布律为所以 10. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和. 解：由性质由于则 . 分布函数 11设，试计算 （1）（2）设满足，问至多为多少？解：（1）因为，故有,（2）即因为分布函数是一个单调不减的函数，故有因此
12、 12一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从参数为的正态分布.若要求,则允许最大为多少？解：因,现要求即要求，应有即允许最大为31.20.13. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？解：而 又因为 所以 即 所以 ，查表得，即14. 设随机变量和均服从正态分布，而，试证明 证明： .练习四 随机变量函数的分布1. 已知的概率分布为：-2-1012323 2试求（1）； （2）的概率分布.解：（1） 。 （2） 2. 设随机变量服从上的均匀分布，令，试求随机变量的密度函数.解：当时，当时， 3设随机变量在区间0,1上服从均匀分布.(1)求的概率密度；（2）求的概率密度.解： (1) 在区间0,1上服从均匀分布,则，因为，所以，当时，从而，；当时，两边关于求导，故 的概率密度为： (2) 当时，所以，当时，从而；当时，两边关于求导，
