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1、第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,伴随着物理学、化学及现代经济学的数学化发展的进程，有人曾预言：在二十一世纪，生物科学将被数学化 而与之紧密相连的医药学更是在上世纪初就大量地使用了数学的方法，特别是随着现代医学的发展，数学的方法已渗透到预防医学、基础医学、临床医学乃至传统的中医学领域 如何运用数学方法解决医学的问题，关键在于建立科学化的数学模型 本节仅举两例经典模型，让大家对此有个初步了解,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,首先我们可以近似地认为，当生物总数很大时，其总数是随时间连续地、可微地变化的,案例1 生物种群的数学模型,设,表示在时间,给定的生物总数，,
2、死亡率之差 如果这种生物是孤立的（净迁移为零），则总数,表示其出生率和,的变化率,等于,在最简单化的模型中，我们假定,是常数，则得到下面的线性方程,， a为常数,称为马尔萨斯（Malthus）生物总数增长定律 ,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,此模型虽然简单，但在生物种群的初期发展阶段是相对符合实际的（如符合17001961年期间估计的地球人口总数） 但在一定生态环境下，自然资源随时间的变化而改变，种群的出生率及死亡率也就与时间有关，设种群的出生率及死亡率分别为,这里,均为正常数，其值可由统计资料得到 ,则,于是所研究的生物种群的增长率为,这是一个可分离变量的微分方程，求其解
3、为,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,由此得,因此，不管其初始值如何，生物总数总是趋向于极限值,当,时，,是单调递增函数 ,且,可以看出：当,时，,是递增的；,当,是递减的,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,图41,因此，,由它的形状我们得到以下结论：在生物总数达到其极限值的 一半以前的时期，是加速生长期过这一点以后，生长的速度逐渐减小，并且迟早会达到零，这是一个减速生长期,的图形是一种S形曲线，,这些结论已被数学生物学家E.F.高斯（Gauss）的原生物草履虫实验所证实另外皮尔（Pearl）和里徳(Reed)提出的美国人口增长的数学模型，以及弗胡斯特对许多欧洲
4、国家的人口预测都与此模型十分吻合,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,尽管有许多例证说明这种模型是科学而实用的，但仍有,一些问题需要说明：,1、模型中的系数,只能是阶段性的随着时间的推移，生物种群会受到外部环境以及内部的战争、瘟疫等因素的极大影响，当然其中的,虽然可由统计资料获得，但也,2、在Logistic模型中，我们是把生物种群中的每个成员平等看待的，这就会产生一定偏差事实上，不同年龄组的成员对总体的影响力是不一样的，而且不同性别的成员对总体增长率的影响也是有很大区别的（往往由雌性的数目来决定）不过这些问题也得到了解决，已经有人（Leslie等）对各种不同情况建立了不同的数学
5、模型,也会发生变化，因此，每隔一段时间都要重新进行估算,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,案例2 传染病学中的阈值问题,长期以来传染病一直在威胁着人类的健康与生命，因此人们对于各种传染病的研究工作也从未停止过，我们暂且抛开药物的预防和治疗问题，而从数学的角度建立关于传染病的数学模型，通过对其解的分析研究来预测传染病的流行趋势得到的结果是：仅当易受传染者的人数超过一定阈值时，才会发生传染病, 这就是传染病学中的著名的阈值定理,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,首先，假设所考虑的这种疾病能使患过这种疾病而痊愈的人具有长期的免疫力，并且假设这种疾病的潜伏期很短可以忽略
6、不计，既一个人患病之后立即成为传染者在这种情况下，我们可以把居民分成三类：1、传染者（I）类；2、易受传染者（S）类；3、排除在外者（R）类第一类由能够把疾病传给别人的传染者组成；第二类由并非传染者但能够得病而成为传染者组成；第三类包括患病死去的人、痊愈后具有长期免疫力的人以及在痊愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,假定疾病传播服从下列法则：,1、在所考虑的时期内，人口总数保持在固定的水平N 2、（S）类人数的变化率正比于（I）类与（S）类人数的乘积 3、由（I）类向（R）类转变的速率与（I）类的人数成正比,设,分别表示在时间t的第一、二、三
7、类的人数.,则由法则13可得方程组,（412）,其中,均为常数，分别称为传染率和排除率,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,由（412）的前两个方程得,(413),由（413）得,解得,（414）,其中,是在初始时间,的传染者和易受传染者的人数，,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,为了分析积分曲线（414）的性质，我们计算,当,时，,当,时，,是S的增函数.,是S的减函数;,当,时，,达到极大值。,图42画出了（414）的轨线形状，,箭头方向表示,增加时,的变化趋势,图42,由上图可见，,时，随着,的增加，,上升；,时，,这说明，仅当传染病开始时健康者人数超过,单
8、调下降,传染病才会蔓延,的情况下，,当,当,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,是一个阈值（俗称门槛）,通常,可近似地认为,，在总人数,提高门槛,的数值，拟对制止传染病的蔓延有利,率这就要求我们一方面提高医疗水平，另一方,，就应该增大排除率，同时减小传染,面建立完善的公共卫生设施和管理制度,很小，,不变的情况下，,而要提高,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,定理4（阈值定理）设,，且,则最终患病人数约为,很小 ,，,证明：设,为,时的健康者人数，则,是轨线与,轴交点的坐标，即有,那么，患病总人数应为,为此，在（414）中令,，则得,即,（415）,第四章 常微分方程,第四节 医学中的数学模型举例,利用近似公式,则（415）变为,解得,由于,阈值定理说明：易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少,，所以,主编：,撰稿教师：（以姓氏为序）,制作：,责任编辑：,电子编辑：,高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN,谢谢观看，再见！,
